Задание 12 ЕГЭ по математике (Профиль): Наибольшее и наименьшее значение функций

🎓

Что проверяет задание 12

Самый алгоритмичный номер части 1: одна и та же последовательность действий на все задачи. Многочлены, корни, логарифмы, экспоненты и дроби исследуются производной.

🧭

Как решать: короткий план

Найдите производную, приравняйте её к нулю и решите — это критические точки.
Определите знак производной слева и справа от каждой: с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.
На отрезке сравните значения в критических точках И на обоих концах.

💡

Главная ловушка: Корень и логарифм монотонно возрастают, поэтому дифференцировать их не надо — исследуйте выражение под ними. Это вдвое короче и без дробей.

✍️

Примеры задания 12 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите точку максимума функции $y= корень из: начало аргумента: 4 минус 4x минус x в квадрате конец аргумента .$

Показать ответ и разбор

Ответ: -2

Решение. Квадратный трехчлен $y=ax в квадрате плюс bx плюс c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке $x_max= минус дробь: числитель: b, знаменатель: 2a конец дроби ,$ в нашем случае — в точке −2. Поскольку функция $y= корень из x$ возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: −2.

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите точку минимума функции $y=x корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 3x плюс 1.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 3.$

Найдем нули производной:

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 3=0 равносильно корень из: начало аргумента: x конец аргумента =2 равносильно x=4.$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума $x=4.$

Ответ: 4.

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 6; минус 1 правая квадратная скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$ $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$

$= левая круглая скобка 2x плюс 12 минус x в квадрате минус 12x минус 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 10x плюс 24 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка .$

Найдем нули производной:

$система выражений минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 10x плюс 24 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка =0, минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 10x плюс 24=0, минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 6, x= минус 4, конец системы . минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус 6, x= минус 4. конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

В точке $x= минус 4$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: $y левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 4 плюс 6 правая круглая скобка в квадрате умножить на 1=4$

Ответ: 4.

Ещё 166+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

169 задач №12 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Бесплатный старт — без карты.

Начать бесплатно →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 12 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 12 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 169 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Начать можно бесплатно.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №11. Графики функций

Задание 12 ЕГЭ по математике: Наибольшее и наименьшее значение функций

Что проверяет задание 12

Как решать: короткий план

Примеры задания 12 с ответами и разборами

169 задач №12 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы