Задание 12 ЕГЭ по математике (Профиль): Наибольшее и наименьшее значение функций

🎓

Что проверяет задание 12

Самый алгоритмичный номер части 1: одна и та же последовательность действий на все задачи. Многочлены, корни, логарифмы, экспоненты и дроби исследуются производной.

🧭

Как решать: короткий план

Найдите производную, приравняйте её к нулю и решите — это критические точки.
Определите знак производной слева и справа от каждой: с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.
На отрезке сравните значения в критических точках И на обоих концах.

💡

Главная ловушка: Корень и логарифм монотонно возрастают, поэтому дифференцировать их не надо — исследуйте выражение под ними. Это вдвое короче и без дробей.

✍️

Примеры задания 12 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите точку максимума функции $y= корень из: начало аргумента: 4 минус 4x минус x в квадрате конец аргумента .$

Показать ответ и разбор

Ответ: -2

Решение. Квадратный трехчлен $y=ax в квадрате плюс bx плюс c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке $x_max= минус дробь: числитель: b, знаменатель: 2a конец дроби ,$ в нашем случае — в точке −2. Поскольку функция $y= корень из x$ возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: −2.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите наибольшее значение функции $y = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x минус 2 косинус x плюс 5 конец дроби$ на отрезке [–π; π].

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,25

Решение. Положим $t = косинус x.$ Если $минус Пи меньше или равно x меньше или равно Пи ,$ то $минус 1 меньше или равно t меньше или равно 1.$ Найдем наибольшее значение функции

$g левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: t в квадрате минус 2t плюс 5 конец дроби$

на отрезке $левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка .$ Для этого преобразуем выражение, задающее функцию:

$g левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: t в квадрате минус 2t плюс 1 плюс 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 конец дроби .$

Дробь, числитель которой — число, а знаменатель — выражение, принимающее только положительные значения, достигает наибольшего значения при наименьшем знаменателе. Знаменатель $левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 4$ достигает наименьшего значения, равного 4, в точке 1. Эта точка принадлежит отрезку $левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка ,$ поэтому

$\underset левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка \mathop\max f левая круглая скобка x правая круглая скобка = \underset левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка \mathop\max g левая круглая скобка t правая круглая скобка = g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: 0,25.

Приведем другое решение.

Заметим, что

$y = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x минус 2 косинус x плюс 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$

причем равенство достигается, если $косинус x =1,$ то есть при $x = 2 Пи k,$ $k принадлежит Z .$ Из найденной серии отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка$ принадлежит число 0. Следовательно, значение $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ достигается.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите точку максимума функции $y=7 плюс 12x минус x в кубе .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 2

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'=12 минус 3x в квадрате .$

Найдем нули производной:

$12 минус 3x в квадрате =0 равносильно x в квадрате =4 равносильно совокупность выражений x= минус 2, x=2. конец совокупности$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=2.$

Ответ: 2.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите точку минимума функции $y=x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 3x плюс 1.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 3.$

Найдем нули производной:

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 3=0 равносильно корень из: начало аргумента: x конец аргумента =2 равносильно x=4.$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума $x=4.$

Ответ: 4.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе минус 6,5x в квадрате плюс 14x минус 14$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 4;3 правая квадратная скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: -3,5

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'=3x в квадрате минус 13x плюс 14.$

Из уравнения $3x в квадрате минус 13x плюс 14=0$ найдем нули производной:

$совокупность выражений x= целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 , x=2. конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

На отрезке [−4; 3] функция не является монотонной, она может достигать своего наибольшего значения в точках 2 или 3. Сравним значения функции в этих точках:

$y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =2 в кубе минус 6,5 умножить на 2 в квадрате плюс 14 умножить на 2 минус 14= минус 4,$

$y левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =3 в кубе минус 6,5 умножить на 3 в квадрате плюс 14 умножить на 3 минус 14= минус 3,5.$

Наибольшим является значение функции в точке 3, оно равно −3,5.

Ответ: −3,5.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите наименьшее значение функции $y= дробь: числитель: x в квадрате плюс 25, знаменатель: x конец дроби$ на отрезке $левая квадратная скобка 1;10 правая квадратная скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 10

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 25, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби .$

Производная обращается в нуль в точках 5 и −5. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет ее значение в точке 5. Найдем его:

$y левая круглая скобка 5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 25 плюс 25, знаменатель: 5 конец дроби =10.$

Ответ: 10.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 10

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$

$= левая круглая скобка 2x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x в квадрате минус 12x плюс 20 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .$ $= левая круглая скобка 2x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =$
$= минус левая круглая скобка x в квадрате минус 12x плюс 20 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .$

Найдем нули производной:

$левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2, x=10. конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=10.$

Ответ: 10.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 6; минус 1 правая квадратная скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$ $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$

$= левая круглая скобка 2x плюс 12 минус x в квадрате минус 12x минус 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 10x плюс 24 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка .$

Найдем нули производной:

$система выражений минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 10x плюс 24 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка =0, минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 10x плюс 24=0, минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 6, x= минус 4, конец системы . минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус 6, x= минус 4. конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

В точке $x= минус 4$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: $y левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 4 плюс 6 правая круглая скобка в квадрате умножить на 1=4$

Ответ: 4.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите точку минимума функции $y=3x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в кубе .$

Показать ответ и разбор

Ответ: -2

Решение. Заметим, что $y=3x минус 3\ln левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка .$ Область определения функции — открытый луч $левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции:

$y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 3 конец дроби .$

Найдем нули производной:

$3 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =0 равносильно x= минус 2.$

Найденная точка лежит на луче $левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума $x= минус 2.$

Ответ: −2.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите наименьшее значение функции $y=9 косинус x плюс 14x плюс 7$ на отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 16

Решение. Найдем производную заданной функции: $y'= минус 9 синус x плюс 14.$ Найденная производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =9 косинус 0 плюс 14 умножить на 0 плюс 7=16.$

Ответ: 16.

Решать задачи №12 в тренажёре →

Ещё 159+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

169 задач №12 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 12 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 12 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 169 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №11. Графики функций

Задание 12 ЕГЭ по математике: Наибольшее и наименьшее значение функций

Что проверяет задание 12

Как решать: короткий план

Примеры задания 12 с ответами и разборами

169 задач №12 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы