Задание 11 ЕГЭ по математике (База): Прикладная стереометрия

🎓

Что проверяет задание 11

Задание 11 — про тело, склеенное из двух простых или срезанное. Формулы те же, что в номере 13, но применять их надо к частям, а потом складывать или вычитать. Главное — не потерять спрятанные грани.

🧭

Как решать: короткий план

Разберите тело на простые части: параллелепипед, призма, пирамида. Обычно их две.
Для объёма просто сложите объёмы частей — склейка объём не меняет.
Для площади поверхности сложите площади частей и вычтите удвоенную площадь склейки.

💡

Главная ловушка: Объём складывается, поверхность — нет. Каждая склейка «съедает» ДВЕ грани (по одной у каждой части), а каждый срез добавляет новую.

✍️

Примеры задания 11 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Показать ответ и разбор

Ответ: 17

Решение. Изначально у пятиугольной призмы 7 граней и 10 вершин. Когда от призмы отпилили все вершины количество граней стало равно 7 + 10 = 17.

Ответ: 17.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали, уровень воды в баке поднялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Показать ответ и разбор

Ответ: 6000

Решение. Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. После погружения детали в воду объём стал равен 12 · 1,5 = 18 литров, поэтому объём детали равен 18 − 12 = 6 л = 6000 см³.

Ответ: 6000.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 8 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Показать ответ и разбор

Ответ: 4000

Решение. Сосуд имеет форму правильной четырёхугольной призмы, поэтому уровень воды прямо пропорционален занятому объёму. Следовательно, после доливания воды первоначальный объем достиг значения

$1,5 умножить на 8=12$ (л).

Изменение объёма составило $12 минус 8=4$ (л), это изменение и есть объём детали. Выразим его в кубических сантиметрах:

$4 л = 4 умножить на 1000 см в кубе = 4000 см в кубе .$

Ответ: 4000.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Показать ответ и разбор

Ответ: 92

Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:

$2 умножить на 4 умножить на 3 плюс 2 умножить на 3 умножить на 5 плюс 2 умножить на 4 умножить на 5 минус 2 умножить на 1 умножить на 1=92.$

Ответ: 92.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Показать ответ и разбор

Ответ: 96

Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 5, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 2 — передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов:

$S=2 левая круглая скобка 5 умножить на 1 плюс 7 умножить на 1 плюс 7 умножить на 5 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка 1 умножить на 1 плюс 2 умножить на 1 плюс 2 умножить на 1 правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка 2 умножить на 1 правая круглая скобка =96.$

Ответ: 96.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Показать ответ и разбор

Ответ: 178

Решение. Площадь поверхности данной детали есть площадь поверхности многогранника со сторонами 6, 5, 5 за вычетом площади двух «боковых прямоугольников» со сторонами 3, 2 и прибавления 2 площадей «верхнего» и «нижнего» прямоугольников со сторонами 2,5.

Получаем: $S=2 умножить на левая круглая скобка 6 умножить на 5 плюс 6 умножить на 5 плюс 5 умножить на 5 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 2 умножить на 5 минус 2 умножить на 3 умножить на 2=178.$

Ответ: 178.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Показать ответ и разбор

Ответ: 7

Решение. Крест состоит из 7 одинаковых кубов, поэтому его объем в 7 раз больше объема одного куба, который равен 1.

Ответ: 7.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Показать ответ и разбор

Ответ: 18

Решение. Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами 1, 3, 2 и 1, 3, 4:

$V=V_1 плюс V_2=6 плюс 12=18.$

Ответ: 18.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Показать ответ и разбор

Ответ: 78

Решение. Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 4, 4, 5 и 1, 2, 1:

$V=V_1 минус V_2=4 умножить на 4 умножить на 5 минус 2=78.$

Ответ: 78.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Показать ответ и разбор

Ответ: 490

Решение. Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.

Ответ: 490.

Решать задачи №11 в тренажёре →

Ещё 63+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

73 задачи №11 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 11 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 11 (базовый уровень) в точном формате экзамена: 73 задачи с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №10. Прикладная геометрия №12. Планиметрия →

Задание 11 ЕГЭ по математике: Прикладная стереометрия

Что проверяет задание 11

Как решать: короткий план

Примеры задания 11 с ответами и разборами

73 задачи №11 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы