Задание 13 ЕГЭ по математике (База): Задачи по стереометрии

🎓

Что проверяет задание 13

Параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус и шар. Всё задание стоит на двух формулах — объёма и площади поверхности — плюс на одном приёме: отношении объёмов подобных тел.

🧭

Как решать: короткий план

Опознайте тело и возьмите формулу объёма. У «остроконечных» тел — пирамиды и конуса — в формуле есть треть.
Если чего-то не хватает, выразите это из данных: часто известен объём, а спрашивают ребро.
Проверьте, о чём спросили: объём, площадь поверхности или одно ребро.

💡

Главная ловушка: Увеличили все размеры в k раз — длины выросли в k, площади в k², объёмы в k³. Половина задач номера решается этим вообще без вычислений.

✍️

Примеры задания 13 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды $ABCA_1.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 1,5

Решение. Объем параллелепипеда равен $V=Sh$ , где S — площадь основания, h — высота. Объем пирамиды равен

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_\Delta h,$

где $S_\Delta$ — площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Решение. Объем пирамиды равен

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Sh,$

где S — площадь основания, а h — высота пирамиды. Зная площадь основания, можно найти высоту:

$h= дробь: числитель: 3V, знаменатель: S конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 12 конец дроби =4.$

Ответ: 4.

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Радиус основания цилиндра равен 26, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.

Показать ответ и разбор

Ответ: 180

Решение. Найдём сторону сечения:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB= корень из: начало аргумента: R в квадрате минус d в квадрате конец аргумента равносильно AB=2 корень из: начало аргумента: R в квадрате минус d в квадрате конец аргумента .$

Найдём площадь сечения:

$S=AB умножить на H = 2 корень из: начало аргумента: R в квадрате минус d в квадрате конец аргумента умножить на H=2 корень из: начало аргумента: 26 в квадрате минус 24 в квадрате конец аргумента умножить на H = 2 корень из: начало аргумента: 676 минус 576 конец аргумента умножить на 9 = 18 корень из: начало аргумента: 100 конец аргумента = 180.$ $S=AB умножить на H = 2 корень из: начало аргумента: R в квадрате минус d в квадрате конец аргумента умножить на H=2 корень из: начало аргумента: 26 в квадрате минус 24 в квадрате конец аргумента умножить на H =$
$= 2 корень из: начало аргумента: 676 минус 576 конец аргумента умножить на 9 = 18 корень из: начало аргумента: 100 конец аргумента = 180.$ $S=AB умножить на H = 2 корень из: начало аргумента: R в квадрате минус d в квадрате конец аргумента умножить на H=$
$=2 корень из: начало аргумента: 26 в квадрате минус 24 в квадрате конец аргумента умножить на H =$
$= 2 корень из: начало аргумента: 676 минус 576 конец аргумента умножить на 9 = 18 корень из: начало аргумента: 100 конец аргумента = 180.$

Ответ: 180.

Ещё 25+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

28 задач №13 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Бесплатный старт — без карты.

Начать бесплатно →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 13 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 13 (базовый уровень) в точном формате экзамена: 28 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Начать можно бесплатно.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №12. Планиметрия №14. Вычисления →

Задание 13 ЕГЭ по математике: Задачи по стереометрии

Что проверяет задание 13

Как решать: короткий план

Примеры задания 13 с ответами и разборами

28 задач №13 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы