Задание 19 ЕГЭ по математике: Числа и их свойства

Решение. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, подходит любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8. Например, это число 578: сумма его цифр равна 20, а сумма квадратов цифр равна 138, то есть делится на 3, но не делится на 9. Также подойдут и другие числа, например: 587, 758, 785, 857 или 875.

Ответ: 578, 587, 758, 785, 857 или 875.

Решение. Произведение 24 дают следующие наборы из четырех цифр: 8, 3, 1, 1, или 6, 2, 2, 1, или 6, 4, 1, 1, или 4, 3, 2, 1, или 3, 2, 2, 2. Чтобы число делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Следовательно, это четное число — оно заканчивается четной цифрой. Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Для первого, второго и пятого наборов суммы цифр нечетные, следовательно, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, не могут быть равны; они не могут также отличаться на 11 ни при какой перестановке цифр. Рассматривая третий и четвертый наборы, находим числа, удовлетворяющие всем условиям: 4312, 3124, 2134, 1342.

Ответ: 2134, или 4312, или 1342, или 3124.

Решение. Пусть число имеет вид Следовательно, Число делится на 4, поэтому делится на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. Если единица только одна, то произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно две единицы. Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, две их последние цифры образуют число, делящееся на 4. Нельзя брать числа с нулём, так как в этом случае произведение будет равно нулю.

Число 12: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая — 4.

Число 16: тогда одна из оставшихся цифр 1, а никакая другая не подойдёт.

Число 24: значит, оставшиеся цифры — единицы.

Остальные числа будут давать слишком большое произведение или нечётную сумму.

Таким образом, искомые числа суть 1412, 4112, 1124.

Ответ: 1124, или 1412, или 4112.

Решение. Если число делится на 55, то оно делится на 5 и на 11. Если число делится на 5, то оно может оканчиваться на 0 или на 5. Если в записи числа есть ноль, то произведение цифр числа равно нулю. Следовательно, запись числа должна оканчиваться на 5. Пусть число имеет вид Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих в записи числа на нечётных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на четных местах, на число, кратное 11: где

Рассмотрим различные произведения abcde — такие, что Последняя цифра числа равна 5, следовательно, возможные значения произведения abcde: 50, 55, 60, 65, 70. Разложим каждое число на простые множители:

Попытаемся удовлетворить уравнению Перебирая различные возможные значения, получим, что возможны три случая:

— разложение числа 70 в виде удовлетворяет уравнению

— разложение числа 60 в виде удовлетворяет уравнению:

— разложение числа 60 в виде удовлетворяет уравнению

Таким образом, подходят числа 11 275, 13 145, 14 135, 17 215, 21 175, 27 115, 21 615, 61 215. Наименьшим из них является число 11 275.

Ответ: 11 275.

Решение. По модулю 6 и 11 число имеет одинаковые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 66, причём этот остаток не равен нулю и меньше шести. Таким образом, искомое число может иметь вид:

При получаем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не являются трёхзначными.

При получаем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 135.

Решение. Если число делится на 27, тогда оно делится на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Следовательно, сумма цифр получившегося числа должна делится на 9. Однако если число делится на 9, то оно необязательно делится на 27, поэтому потребуется проверка.

Сумма цифр числа 123 456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Чтобы сумма цифр получившегося числа была равна 9, вычеркнем цифры, дающие в сумме 12: 6, 5 и 1. Получим число 234, оно не делится на 27. Тогда вычеркнем 2, 4 и 6, получим 135 — делится на 27.

Ответ: 135.

Примечание о единственности ответа.

Перебирая все возможные вычеркивания и не меняя порядок цифр, поскольку по условию цифры можно только вычеркивать, но не менять местами, можно найти все числа, которые можно получить из исходного:

— начинающиеся с 1: 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156;

— начинающиеся с 2: 234, 235, 236, 245, 246, 256;

— начинающиеся с 3: 345, 346, 356;

— начинающиеся с 4: 456.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что из найденных чисел на 27 делится только число 135. Других вариантов нет.

Решение. При делении на 4 число даёт в остатке 3, следовательно, оно нечётное. Поскольку число при делении на 5 даёт в остатке 3, то оно может оканчиваться на 3 или на 8. Таким образом, число обязательно должно заканчиваться цифрой 3. Подбором находим, что условию задачи удовлетворяют числа 963, 843.

Ответ: 843 или 963.

Приведем другое решение.

Число имеет одинаковый остаток при делении на 4, 5 и 6, а значит, будет иметь тот же остаток при делении на наименьшее общее кратное этих чисел — число 60. Таким образом, число имеет вид где Перебирая k, получаем следующие семь трёхзначных чисел: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Выберем из них те, цифры которых расположены в порядке убывания, это числа 843 и 963 (в числе 663 есть одинаковые цифры, поэтому нельзя сказать, что они расположены в порядке убывания).

Решение. Число делится на 88, если оно делится на 8 и на 11. Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8. Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо разность этих сумм делится на 11. Используя признак делимости на 8, и учитывая, что все цифры искомого числа должны быть чётны и различны получаем, что последними цифрами числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Используя признак делимости на 11 получим, что условию задачи удовлетворяют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

Приведём идею другого решения.

Искомое число должно быть записано четырьмя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каждая из которых взята один раз. Причём сумма цифр в разрядах тысяч и десятков должна быть равна сумме цифр в разрядах сотен и единиц, а три последние цифры искомого числа должны образовывать трёхзначное число, кратное восьми. Пусть в разряде тысяч стоит 8, тогда в разряде десятков должна быть 2, а в разряде сотен и единиц — цифры 4 и 6. Заметим, что число 8624 удовлетворяет условию. Далее аналогично для чисел, начинающихся с 2, 4 и 6.

Решение. Пусть abcd - искомое число (a — число тысяч, b — число сотен, — число десятков, d — число единиц) . По условию Кроме того, Проанализируем теперь то, что искомое число делится на каждую свою цифру.

Если искомое число содержит цифру 5, то эта цифра должна стоять на 4-⁠м месте. Это просто понять из того, что признак делимости на 5 — это 0 или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет стоять где-⁠нибудь не на последнем месте, то тогда, согласно признаку делимости на 5, еще одна 5 будет стоять в конце числа, а это противоречит условию задачи.

Первая цифра — единица. Это очевидно из того, что искомое число больше 1340 и меньше 1640.

На втором месте могут стоять цифры 3, 4, 6.

Если на втором месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма первых двух цифр: 1 + 3 = 4. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 21. Рассмотрим варианты:

4 + x + y = 21 (x = 8, y = 9: 1389 — не подходит, так как не делится на 8, 1398 — не делится на 9).

4 + x + y = 18 (x + y = 14: x = 5, y = 9: 1395 — число делится на 3, на 9 и на 5; x = 6, y = 8: 1368 — число делится на 3, на 6, на 8, x = 7, y = 7 — не подходит).

4 + x + y = 15 (x + y = 11: x = 2, y = 9 — не подходит, x = 3, y = 8 — не подходит, x = 4, y = 7 — не подходит, x = 5, y = 6 — не подходит).

4 + x + y = 12 (x + y = 8: x = 7, y = 1 — не подходит, x = 2, y = 6: 1362 — число делится на каждую из своих цифр, x = 3, y = 5 — не подходит, x = 4, y = 4 — не подходит).

4 + x + y = 9 (x + y = 5: x = 4, y = 1 — не подходит, x = 3, y = 2 — не подходит).

4 + x + y = 6 (x + y = 2: x = 1, y = 1 — не подходит).

4 + x + y = 3 (x + y = 1 — невозможно в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.

Если на втором месте цифра 4, то последние две цифры должны делиться на 4. Среди таких чисел (без повторяющихся цифр): 28 (не подходит), 32 (не подходит), 36 (не подходит), 68 (не подходит), 72 (не подходит), 76 (не подходит), 92 (не подходит), 96 (не подходит).

Если на втором месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа должна делиться на 3 и, кроме того, число должно оканчиваться на четную цифру. Сумма первых двух цифр 1 + 6 = 7. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 24. Рассмотрим варианты:

7 + x + y = 24 (x + y = 17, x = 8, y = 9 — не подходят, так как число должно быть меньше 1640).

7 + x + y = 21 (x + y = 14: x = 5, y = 9 — не подходит, x = 6, y = 8 — не подходит, x = 7, y = 7 — не подходит).

7 + x + y = 18 (x + y = 11: x = 2, y = 9 — не подходит, x = 3, y = 8 — не подходит, x = 4, y = 7 — не подходит, x = 5, y = 6 — не подходит).

7 + x + y = 15 (x + y = 8: x = 7, y = 1 — не подходит, x = 2, y = 6 — не подходит, x = 3, y = 5 — не подходит, x = 4, y = 4 — не подходит).

7 + x + y = 12 (x + y = 5: x = 4, y = 1 — не подходит, x = 3, y = 2 — число 1632 делится на каждую из своих цифр).

7 + x + y = 9 (x + y = 2: x = 1, y = 1 — не подходит).

Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632.

Решение. Представим искомое число в виде Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8. Сумма цифр искомого числа равна 21, поэтому оно автоматически будет делиться на 3. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры образуют число, которое делится на 8. Известно, что поэтому а сумма и d должно быть обязательно четным. Рассмотрим все случаи.

Допустим, что тогда что невозможно в силу

Допустим, что тогда откуда следует, что Число 992 делится на 8, следовательно, число 1992 — искомое.

Допустим, что тогда откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 7 и 9, 8 и 8. Среди чисел 794, 974, 884 ни одно не кратно 8, поэтому

Допустим, что тогда откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. Среди чисел 596, 956, 686, 868, 776 только число 776 кратно 8, следовательно, число 1776 — искомое.

Допустим, что тогда откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7, 6 и 6. Среди чисел 398, 938, 488, 848, 578, 758, 668 только числа 488, 848 кратны 8, однако полученное число 1488 не удовлетворяет условию следовательно, число 1848 — искомое.

Ответ: 1776, или 1848, или 1992.