Задание 19 ЕГЭ по математике: Числа и их свойства

Решение. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, подходит любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8. Например, это число 578: сумма его цифр равна 20, а сумма квадратов цифр равна 138, то есть делится на 3, но не делится на 9. Также подойдут и другие числа, например: 587, 758, 785, 857 или 875.

Ответ: 578, 587, 758, 785, 857 или 875.

Решение. Пусть число A имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 6 больше, чем в исходном. Пусть A делится на 12, тогда то есть число не делится на 12. Аналогично, если число делится на 12, то число A не делится на 12. Значит, Рассмотрим три случая.

1. Число имеет вид: сумма цифр числа на 3 меньше суммы цифр числа

2. Число имеет вид: сумма цифр числа на 12 меньше суммы цифр числа

3. Число имеет вид: сумма цифр числа на 21 меньше суммы цифр числа

Ясно, что условиям задачи удовлетворяют числа, рассмотренные в пункте 2. Подберём число A так, чтобы сумма его цифр делилась на 12. Наименьшее возможное A, удовлетворяющее условиям задачи, — 699. Действительно, сумма его цифр 6 + 9 + 9 = 24 делится на 12; число (А + 6) равно 699 + 6 = 705, его сумма цифр 7 + 5 = 12 также делится на 12.

Ответ: 699.

Примечание.

Обратим внимание читателей на то, что на 12 должна делиться сумма цифр числа A, а также сумма цифр числа (А + 6). Сами числа A и (А + 6) при этом могут быть не кратны 12.

Решение. Представим искомое число в виде Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8. Сумма цифр искомого числа равна 21, поэтому оно автоматически будет делиться на 3. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры образуют число, которое делится на 8. Известно, что поэтому а сумма и d должно быть обязательно четным. Рассмотрим все случаи.

Допустим, что тогда что невозможно в силу

Допустим, что тогда откуда следует, что Число 992 делится на 8, следовательно, число 1992 — искомое.

Допустим, что тогда откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 7 и 9, 8 и 8. Среди чисел 794, 974, 884 ни одно не кратно 8, поэтому

Допустим, что тогда откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. Среди чисел 596, 956, 686, 868, 776 только число 776 кратно 8, следовательно, число 1776 — искомое.

Допустим, что тогда откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7, 6 и 6. Среди чисел 398, 938, 488, 848, 578, 758, 668 только числа 488, 848 кратны 8, однако полученное число 1488 не удовлетворяет условию следовательно, число 1848 — искомое.

Ответ: 1776, или 1848, или 1992.