Задание 20 ЕГЭ по математике (База): Текстовые задачи

🎓

Что проверяет задание 20

Самый большой банк базового уровня: движение, совместная работа, сплавы и смеси, прогрессии. Считать тут нечего — вся сложность в том, чтобы правильно назвать неизвестное и составить уравнение.

🧭

Как решать: короткий план

Определите тип задачи: у движения, работы, смесей и прогрессий свои формулы.
Обозначьте за x ровно то, что спрашивают, и заполните табличку по каждому участнику.
Составьте уравнение по фразе-связке: «на 2 часа больше», «одновременно», «вместе», «поровну».

💡

Главная ловушка: В задачах на смеси считают не проценты, а МАССУ чистого вещества: проценты складывать нельзя, килограммы можно. А средняя скорость — это весь путь делить на всё время, а не среднее арифметическое скоростей.

✍️

Примеры задания 20 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $8 \%,$ а в 2010 году на $9 \%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Показать ответ и разбор

Ответ: 47088

Решение. В 2009 году число жителей стало $40000 плюс 0,08 умножить на 40000=43200$ человек, а в 2010 году число жителей стало $43200 плюс 0,09 умножить на 43200=47088$ человек.

Ответ: 47 088.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Показать ответ и разбор

Ответ: 9

Решение. Пусть масса первого сплава m кг, а масса второго — $m плюс 3$ кг, масса третьего сплава — $2m плюс 3$ кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди, третий сплав — 30% меди. Тогда:

$0,1m плюс 0,4 левая круглая скобка m плюс 3 правая круглая скобка =0,3 левая круглая скобка 2m плюс 3 правая круглая скобка равносильно 0,5m плюс 1,2=0,6m плюс 0,9 равносильно m=3 равносильно 2m плюс 3=9.$ $0,1m плюс 0,4 левая круглая скобка m плюс 3 правая круглая скобка =0,3 левая круглая скобка 2m плюс 3 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 0,5m плюс 1,2=0,6m плюс 0,9 равносильно m=3 равносильно 2m плюс 3=9.$ $0,1m плюс 0,4 левая круглая скобка m плюс 3 правая круглая скобка =0,3 левая круглая скобка 2m плюс 3 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 0,5m плюс 1,2=0,6m плюс 0,9 равносильно$
$равносильно m=3 равносильно 2m плюс 3=9.$

Ответ: 9.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Смешали некоторое количество 16-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и разбор

Ответ: 14

Решение. Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна $\omega= дробь: числитель: m_в минус ва, знаменатель: m_р минус ра конец дроби умножить на 100\%.$ Пусть масса получившегося раствора $2m.$ Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

$\omega= дробь: числитель: 0,16m плюс 0,12m, знаменатель: 2m конец дроби умножить на 100\%= дробь: числитель: 0,28, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 100\%=14\%.$

Ответ: 14.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй — 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора была меньше массы второго?

Показать ответ и разбор

Ответ: 100

Решение. Пусть масса первого раствора $m_1$ кг, а масса второго − $m_2$ кг. Тогда массовое содержание соли в первом и втором растворах $0,1m_1$ и $0,3m_2,$ соответственно. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. Получаем систему уравнений:

$система выражений новая строка m_1 плюс m_2=200, новая строка 0,1m_1 плюс 0,3m_2=0,25 умножить на 200, конец системы . равносильно система выражений новая строка m_2=200 минус m_1, новая строка 0,1m_1 плюс 0,3 левая круглая скобка 200 минус m_1 правая круглая скобка =50 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка m_2=200 минус m_1, новая строка 0,2m_1=10 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_1=50, новая строка m_2=150. конец системы .$ $система выражений новая строка m_1 плюс m_2=200, новая строка 0,1m_1 плюс 0,3m_2=0,25 умножить на 200, конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка m_2=200 минус m_1, новая строка 0,1m_1 плюс 0,3 левая круглая скобка 200 минус m_1 правая круглая скобка =50 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка m_2=200 минус m_1, новая строка 0,2m_1=10 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_1=50, новая строка m_2=150. конец системы .$

Таким образом, масса первого раствора меньше массы второго на 100 килограммов.

Ответ: 100.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/⁠ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 50

Решение. Автомобиль, выехавший из города A, преодолел расстояние (330 − 180) км = 150 км за 3 часа. Пусть $v$ км/ч — скорость данного автомобиля. Таким образом,

$v = дробь: числитель: 150, знаменатель: 3 конец дроби =50$ км/⁠ч.

Ответ: 50.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/⁠ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Показать ответ и разбор

Ответ: 800

Решение. Скорость поезда равна $80~км/ч= дробь: числитель: 80000 м, знаменатель: 3600 с конец дроби = дробь: числитель: 800, знаменатель: 36 конец дроби ~м/с.$ За 36 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние, равное своей длине:

$дробь: числитель: 800, знаменатель: 36 конец дроби умножить на 36 =800~м.$

Ответ: 800.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/⁠ч больше скорости другого?

Показать ответ и разбор

Ответ: 20

Решение. Пусть υ км/⁠ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна υ + 21 км/⁠ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t часов. Для того чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

$левая круглая скобка v плюс 21 правая круглая скобка t минус v t=7 равносильно 21t=7 равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Таким образом, мотоциклисты поравняются через $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ часа, или через 20 минут.

Ответ: 20.

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км/⁠ч и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/⁠ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 110 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/⁠ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 11

Решение. Пусть u км/ч — скорость второго теплохода, тогда скорость первого теплохода равна $u минус 1$ км/ч. Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда имеем:

$дробь: числитель: 110, знаменатель: u минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 110, знаменатель: u конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 110, знаменатель: u в квадрате минус u конец дроби =1 равносильно 110=u в квадрате минус u равносильно u в квадрате минус u минус 110=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка u=11; новая строка u= минус 10 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=11.$

Ответ: 11.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

Показать ответ и разбор

Ответ: 10

Решение. Обозначим x — количество литров воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает $x плюс 1$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:

$дробь: числитель: 110, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 110, знаменатель: x плюс 1 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 110, знаменатель: x в квадрате плюс x конец дроби =1\undersetx больше 0\mathop равносильно 110=x в квадрате плюс x равносильно$

$равносильно x в квадрате плюс x минус 110=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=10; новая строка x= минус 11 конец совокупности .\undersetx больше 0\mathop равносильно x=10.$

Таким образом, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Ответ: 10.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Показать ответ и разбор

Ответ: 6

Решение. Скорость совместной работы насосов

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка л/мин= дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби л/мин.$

Для того чтобы перекачать 25 литров воды, понадобится

$дробь: числитель: 25, знаменатель: в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка \!\!\diagup\!\!_6\; конец дроби$ мин $=6$ мин.

Ответ: 6.

Решать задачи №20 в тренажёре →

Ещё 109+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

119 задач №20 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 20 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 20 (базовый уровень) в точном формате экзамена: 119 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №19. Числа и их свойства №21. Задачи на смекалку →

Задание 20 ЕГЭ по математике: Текстовые задачи

Что проверяет задание 20

Как решать: короткий план

Примеры задания 20 с ответами и разборами

119 задач №20 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы