Задание 7 ЕГЭ по математике: Анализ графиков и диаграмм

Решение. Пусть угол, который составляет касательная с положительным направлением оси абсцисс, равен α, а угловой коэффициент касательной равен k. Тогда:

α	k

Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Таким образом, получаем соответствие: А — 2, Б — 1, В — 4, Г — 3.

Ответ: 2143.

Решение. Если прямая задана уравнением то при k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает. При этом, чем больше коэффициент k по модулю, тем круче наклон графика. Следовательно, графики А и Б соответствуют отрицательным значениям k, при этом для графика А значение k должно быть больше по модулю, чем для графика Б. Значит, имеем: A — 2, Б — 3. Графики В и Г соответствуют положительным значениям k, при этом для графика Г значение k должно быть больше по модулю, чем для графика В, значит, имеем: В — 4, Г — 1.

Ответ: 2341.

Решение. Заметим, что — квадратичная функция, график которой — парабола. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то ветви параболы направлены вниз. Если c > 0, то парабола пересекает ось Oy выше оси Ox, если c < 0, то парабола пересекает Oy ниже оси Ox.

Значит, А — 1, Б — 3, В — 4, Г — 2.

Ответ: 1342.

Решение. Если k > 0, то график функции возрастает, если k < 0, то график функции убывает. Если b > 0, то график функции пересекает ось Oy выше оси Ox, если b < 0, то график функции пересекает Oy ниже оси Ox.

Значит, А — 3, Б — 1, В — 2, Г — 4.

Ответ: 3124.

Решение. Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Он положителен и меньше 1, если касательная наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом меньше 45°; больше 1, если угол наклона больше 45°, но меньше 90°. Поэтому на графике А угловой коэффициент положителен и меньше 1, на графике Б отрицателен и меньше −1, на графике В отрицателен и больше −1, на графике Г положителен и больше 1. Таким образом, получаем соответствие: А — 1, Б — 3, В — 4, Г — 2.

Ответ: 1342.

Примечание.

Заметим, что в подобных задачах не следует пытаться определять значения производной по рисунку и соотносить с приведенными значениями, поскольку равенство может быть неточным. Следует соотносить рисунки и приведенные значения производной на основе угла наклона касательной — значение производной тем больше по модулю, чем «круче» наклон касательной.

Решение. Рассмотрим каждую из характеристик.

1. Функция имеет точку максимума на отрезке [1; 7]. Из представленных функций имеет точку максимума на отрезке [1; 7] функция В.

2. Функция убывает на отрезке [1; 7]. Из представленных функций убывает на отрезке [1; 7] функция Г.

3. Функция имеет точку минимума на отрезке [1; 7]. Из представленных функций имеет точку минимума на отрезке [1; 7] функция Б.

4. Функция возрастает на отрезке [1; 7]. Из представленных функций возрастает на отрезке [1; 7] функция А.

Ответ: 4312.

Решение. Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Он положителен и меньше 1, если касательная наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом меньше 45°; больше 1, если угол наклона больше 45°, но меньше 90°. Поэтому на графике А угловой коэффициент положителен и больше 1, на графике Б отрицателен и меньше −1, на графике В положителен и меньше 1, на графике Г отрицателен и больше −1.

Ответ: 3412.

Решение. Рассмотрим каждый график функции.

А) У данного графика минимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с отрицательного на положительный. Данный график производной указан под цифрой 4.

Б) У данного графика минимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с отрицательного на положительный. Данный график производной указан под цифрой 1.

В) У данного графика максимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с положительного на отрицательный. Данный график производной указан под цифрой 3.

Г) У данного графика максимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с положительного на отрицательный. Данный график производной указан под цифрой 2.

Ответ: 4132.

Решение. А) Функция задает уравнение прямой. Стационарных точек не имеет. Коэффициент угла наклона положителен, поэтому функция возрастающая.

Б) Функция задает уравнение квадратичной функции, график которой — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной (0; 10). Следовательно, точка (0; 10) является точкой максимума.

В) Функция то есть задает уравнение квадратичной функции, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной (2; 3). Следовательно, точка (2; 3) является точкой минимума.

Г) Функция задает уравнение прямой. Стационарных точек не имеет. Коэффициент угла наклона отрицателен, поэтому функция убывающая.

Ответ: 1423.

Решение. Рассмотрим каждый график функции.

А) У данного графика минимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с отрицательного на положительный. Данный график производной указан под цифрой 2.

Б) У данного графика максимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с положительного на отрицательный. Данный график производной указан под цифрой 1.

В) У данного графика максимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с положительного на отрицательный. Данный график производной указан под цифрой 3.

Г) У данного графика минимум находится в точке Следовательно, производная этого графика в точке должна менять свой знак с отрицательного на положительный. Данный график производной указан под цифрой 4.

Ответ: 2134.