ВЫШЕ БАЛЛматематика№1
Задание 1 ЕГЭ по математике: Планиметрия
профильный уровень · 270 задач из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
270 задачПрофильразбор у каждой10 открытых примеров
Открыть тренировку →
ВЫШЕ БАЛЛматематикапрофильный уровень · 270 задач из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
Самый большой банк по планиметрии в части 1: треугольники, четырёхугольники и окружности по чертежу. В отличие от базового №12, здесь регулярно нужны теоремы синусов и косинусов, свойства вписанных углов и радиусы вписанной и описанной окружностей.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4,8, 
Найдите AB.
Решение. Найдем косинус угла A:
Следовательно,
Ответ: 5.
Примечание.
Можно было бы воспользоваться определением косинуса: 
то есть 
откуда 
Приведём другое решение.
Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса 
то есть 
откуда 
Применим теорему Пифагора:
В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 8, 
Найдите 
Решение. Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
Ответ: 0,5.
В треугольнике ABC AC = BC = 7, 
Найдите AB.
Решение. Треугольник АВС — равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Следовательно,
Ответ: 8.
В треугольнике ABC угол A равен 38°, AC = BC. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Решение. Треугольник ABC — равнобедренный, углы при его основании равны, поэтому
Ответ: 104.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Решение. Луч AD — биссектриса, поэтому 
Угол ADB является внешним углом треугольника ADC, следовательно, он равен сумме двух не смежных с ним углов: 
Ответ: 52.
Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Решение. Пусть x — длина искомой высоты. Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты, опущенной на это основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами: 
Из полученного уравнения находим 
Ответ: 6.
Примечание.
Раньше к этому заданию составители давали рисунок, приведённый справа. Внимательный читатель заметит, что он неверный. Действительно, если в прямоугольном треугольнике BGC вычислить длину катета CG, то окажется, что
Связано это с тем, что на самом деле основание высоты параллелограмма падает на продолжение стороны CD за точку D (см. рис.). Для решения задачи рисунок не нужен.
Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
Решение. Пусть отрезок CE — высота трапеции. В треугольнике CED получаем 
по теореме Пифагора находим:
По определению синуса
Ответ: 0,96.
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°.
Решение. 
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду: 
Следовательно,
Ответ: 64.
Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Решение. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра p на радиус вписанной окружности r:
Ответ: 6.
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите
Решение. Пусть дуга AB равна 4x, тогда
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,
Ответ: 60.
Ещё 260+ таких задач с разборами — в тренажёре.
Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.
На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 1 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 270 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.
Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.
База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.
Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.