Задание 1 ЕГЭ по математике (Профиль): Планиметрия

🎓

Что проверяет задание 1

Самый большой банк по планиметрии в части 1: треугольники, четырёхугольники и окружности по чертежу. В отличие от базового №12, здесь регулярно нужны теоремы синусов и косинусов, свойства вписанных углов и радиусы вписанной и описанной окружностей.

🧭

Как решать: короткий план

Перерисуйте чертёж и отметьте на нём всё, что дано: равные стороны, прямые углы, известные длины.
Найдите прямоугольный треугольник. Нет — проведите высоту: в равнобедренном она делит основание пополам, и он появляется сразу.
Выберите инструмент: две стороны — Пифагор; сторона и угол — синус или косинус; две стороны и угол между ними — теорема косинусов.

💡

Главная ловушка: В прямоугольном треугольнике знание одного острого угла даёт все три отношения сторон: из синуса выводится косинус по основному тождеству, из них — тангенс.

✍️

Примеры задания 1 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4,8, $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите AB.

Показать ответ и разбор

Ответ: 5

Решение. Найдем косинус угла A:

$косинус A = корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби .$

Следовательно,

$AB = дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = 4,8 : дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = 4,8 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 10 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Ответ: 5.

Примечание.

Можно было бы воспользоваться определением косинуса: $косинус A = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 4,8, знаменатель: AB конец дроби ,$ откуда $AB = дробь: числитель: 25 умножить на 4,8, знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Приведём другое решение.

Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса $синус A = дробь: числитель: CB, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: CB, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ откуда $CB = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x.$ Применим теорему Пифагора:

$x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$ $x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите стороны этого треугольника.

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Решение. Треугольник ABC — равносторонний, значит, все углы в треугольнике равны 60°. Получаем:

$AC = дробь: числитель: CH, знаменатель: синус \angle A конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: синус 60 градусов конец дроби = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = 4.$

Ответ: 4.

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр.

Показать ответ и разбор

Ответ: 69

Решение. Проведем высоту BH, в равнобедренной трапеции $AH = дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби .$ Последовательно получаем:

$P_ABCD = AD плюс BC плюс 2AB = AD плюс BC плюс 2 дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус \angle BAD конец дроби =$
$= AD плюс BC плюс дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: косинус \angle BAD конец дроби = 39 плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: косинус 60 градусов конец дроби = 69.$ $P_ABCD = AD плюс BC плюс 2AB =$
$= AD плюс BC плюс 2 дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус \angle BAD конец дроби = AD плюс BC плюс дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: косинус \angle BAD конец дроби =$
$= 39 плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: косинус 60 градусов конец дроби = 69.$

Ответ: 69.

Приведем другое решение.

Высота равнобокой трапеции, опущенная из вершины на большее основание, делит его на больший отрезок, длина которого равна полусумме длин оснований, и меньший, длина которого равна полуразности длин оснований. Проведем высоту BH, тогда $BH = дробь: числитель: 27 минус 12, знаменатель: 2 конец дроби = 7,5.$ В прямоугольном треугольнике ABH угол $\angle ABH = 90 градусов минус 60 градусов = 30 градусов,$ потому что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Получаем $AB = 2AH = 15 = CD.$ Найдем периметр трапеции:

$P = AD плюс BC плюс AB плюс CD = 27 плюс 12 плюс 15 плюс 15 = 69.$

Ещё 267+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

270 задач №1 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Бесплатный старт — без карты.

Начать бесплатно →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 1 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 1 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 270 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Начать можно бесплатно.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №21. Задачи на смекалку №2. Векторы →

Задание 1 ЕГЭ по математике: Планиметрия

Что проверяет задание 1

Как решать: короткий план

Примеры задания 1 с ответами и разборами

270 задач №1 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы