Задание 2 ЕГЭ по математике (Профиль): Векторы

🎓

Что проверяет задание 2

Самое короткое задание части 1. Почти всё сводится к трём формулам: длина вектора, скалярное произведение и угол между векторами. Вектор задаётся либо координатами, либо чертежом — прямоугольником, ромбом, правильным треугольником.

🧭

Как решать: короткий план

Вектор дан координатами — считайте сразу по формулам; дан чертежом — сначала введите координаты, поставив начало в удобную вершину.
Для длины берите корень из суммы квадратов координат, для угла — скалярное произведение делить на произведение длин.
Проверьте, что именно спрашивают: длину, квадрат длины, скалярное произведение или косинус угла — это разные величины.

💡

Главная ловушка: Спросили КВАДРАТ длины — корень извлекать не надо: так сделано специально, чтобы ответ вышел целым. И помните, что длина суммы не равна сумме длин: в прямоугольнике 6 и 8 это 10, а не 14.

✍️

Примеры задания 2 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите длину вектора $\veca левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 10

Решение. Длина вектора определяется следующим выражением:

$корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс 8 в квадрате конец аргумента = 10.$

Ответ: 10.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowAD.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 0

Решение. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Косинус прямого угла равен нулю, поэтому и искомое скалярное произведение равно нулю.

Ответ: 0.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrowAB минус \overrightarrowAD.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 12

Решение. Разность векторов $\overrightarrowAB$ и $\overrightarrowAD$ равна вектору $\overrightarrowDB.$ Длина вектора $\overrightarrowDB$ равна 12.

Ответ: 12.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Стороны правильного треугольника ABC равны $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите длину вектора $\overrightarrowAB плюс \overrightarrowAC.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 6

Решение. Достраиваем треугольник до ромба. Поскольку $\overrightarrowAB плюс \overrightarrowAC = \overrightarrowAD,$ необходимо найти длину большей диагонали ромба, равную удвоенной длине медианы равностороннего треугольника ABC. Таким образом, имеем:

$AD = 2 умножить на дробь: числитель: AB корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = 6.$

Ответ: 6.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

Вектор $\overrightarrowAB$ с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки B.

Показать ответ и разбор

Ответ: 6

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Вектор $\overrightarrowAB$ имеет координаты $левая круглая скобка 6; 2 правая круглая скобка ,$ поэтому легко вычислить координаты точки B. Следовательно, точка B имеет координаты $x минус 2 = 6,$ $y минус 4 = 2,$ то есть $x = 8,$ $y = 6.$

Ответ: 6.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите сумму координат вектора $\overrightarrowa$ + $\overrightarrowb.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 20

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Находим: $\overrightarrowa= левая круглая скобка 2; 6 правая круглая скобка , \overrightarrowb= левая круглая скобка 8; 4 правая круглая скобка .$ Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат, поэтому $\overrightarrowa плюс \overrightarrowb = левая круглая скобка 2 плюс 8; 6 плюс 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка 10; 10 правая круглая скобка .$ Сумма координат вектора равна 20.

Ответ: 20.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите угол между векторами $\overrightarrowa$ и $\overrightarrowb.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и разбор

Ответ: 45

Решение. Скалярное произведение векторов равно

$\overrightarrowa умножить на \overrightarrowb=x_1 умножить на x_2 плюс y_1 умножить на y_2=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40.$

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Найдем длины векторов $\overrightarrowa$ и $\overrightarrowb$ :

$a= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в квадрате плюс 6 в квадрате = корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента ,$

$b= корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента в квадрате плюс 4 в квадрате = корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента .$

Тогда справедливо равенство: $a умножить на b умножить на косинус альфа =40,$ откуда $косинус альфа = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ и $альфа =45 градусов.$

Ответ: 45.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrowa$ и $\overrightarrowb.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 40

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор $\overrightarrowa~$ имеет координаты $левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка ,$ вектор $\overrightarrowb~$ имеет координаты $левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка .$ Скалярное произведение векторов равно:

$\overrightarrowa \overrightarrowb =x_a умножить на x_b плюс y_a умножить на y_b=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40.$

Ответ: 40.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

На координатной плоскости изображены векторы $\veca$ и $\vecb.$ Найдите скалярное произведение $\veca умножить на \vecb.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 12

Решение. Выпишем координаты векторов: $\veca = левая круглая скобка 4; 6 правая круглая скобка ,$ $\vecb = левая круглая скобка 6; минус 2 правая круглая скобка .$ Скалярное произведение векторов равно:

$\veca умножить на \vecb =x_a умножить на x_b плюс y_a умножить на y_b= 4 умножить на 6 плюс 6 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = 24 минус 12 = 12.$

Ответ: 12.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a,$ $\vec b$ и $\vec c.$ Найдите значение выражения $левая круглая скобка \vec a минус \vec b правая круглая скобка умножить на \vec c.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 18

Решение. Выпишем координаты векторов: $\vec a левая круглая скобка 2; 1 правая круглая скобка ,$ $\vec b левая круглая скобка минус 1; 4 правая круглая скобка ,$ $\vec c левая круглая скобка 5; минус 1 правая круглая скобка .$ Найдем координаты вектора $\vec a минус \vec b:$

$\vec a минус \vec b = левая круглая скобка 2 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ; 1 минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3; минус 3 правая круглая скобка .$

Скалярное произведение равно:

$левая круглая скобка \vec a минус \vec b правая круглая скобка умножить на \vec c = 3 умножить на 5 минус 3 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 18.$

Ответ: 18.

Решать задачи №2 в тренажёре →

Ещё 48+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

58 задач №2 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 2 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 2 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 58 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №1. Планиметрия №3. Стереометрия →

Задание 2 ЕГЭ по математике: Векторы

Что проверяет задание 2

Как решать: короткий план

Примеры задания 2 с ответами и разборами

58 задач №2 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы