ВЫШЕ БАЛЛматематика№3
Задание 3 ЕГЭ по математике: Стереометрия
профильный уровень · 313 задач из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
313 задачПрофильразбор у каждой10 открытых примеров
Открыть тренировку →
ВЫШЕ БАЛЛматематикапрофильный уровень · 313 задач из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
313 задач банка держатся на двух формулах — объёма и площади поверхности — и одном приёме: подобии. Многие задачи вообще не требуют вычислений, достаточно отношения.
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
Решение. Пусть ребро куба равно a, тогда площадь поверхности куба 
а диагональ куба 
Тогда диагональ куба равна
Ответ: 3.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки 
B, C, 
прямоугольного параллелепипеда 
у которого 
Решение. 
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро 
Поэтому объем пирамиды равен
Ответ: 16.
Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Решение. 
Рассмотрим треугольник EAD2. В нем AE = ED2 = D2A, так как это диагонали равных квадратов. Таким образом, треугольник EAD2 — равносторонний, все его углы
Ответ: 60.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение. Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами
Ответ: 104.
В кубе 
найдите угол между прямыми 
и 
Ответ дайте в градусах.
Решение. 
Поскольку — куб, каждая из его граней является квадратом. Диагонали этих квадратов равны, поэтому 
Тогда треугольник 
— равносторонний. Следовательно, искомый угол равен 60°.
Ответ: 60.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SB = 13, AC = 24. Найдите длину отрезка SO.
Решение. В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Следовательно, отрезок SO является высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора
Ответ: 5.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Решение. Объем пирамиды с площадью основания S и высотой h равен 
откуда площадь основания 
Сторона основания тогда 
а диагональ 
Боковое ребро найдем по теореме Пифагора:
Ответ: 13.
В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC. Точки K, M и P — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Найдите объем пирамиды SKMP, если объем пирамиды SABC равен 24.
Решение. Стороны треугольника KMP являются средними линиями треугольника ABC, поэтому треугольники ABC и KMP подобны по трем углам с коэффициентом подобия 
Следовательно, площадь треугольника KMP в 4 раза меньше площади треугольника ABC. Получаем:
Ответ: 6.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение. 
Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
откуда, учитывая, что 
получаем: 
или 
Образующая конуса l, его высота h и радиус основания r связаны соотношением 
откуда, учитывая, что получаем: 
или 
Площадь боковой поверхности конуса равна 
Следовательно,
Ответ: 3.
Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в
Решение. Объем конуса равен
Ответ: 2,25.
Ещё 303+ таких задач с разборами — в тренажёре.
Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.
На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 3 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 313 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.
Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.
База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.
Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.