ВЫШЕ БАЛЛматематика№4
Задание 4 ЕГЭ по математике: Начала теории вероятностей
профильный уровень · 61 задача из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
61 задачаПрофильразбор у каждой10 открытых примеров
Открыть тренировку →
ВЫШЕ БАЛЛматематикапрофильный уровень · 61 задача из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
Классическое определение вероятности: доля благоприятных исходов среди всех возможных. Одна формула и аккуратный подсчёт — всё, что нужно назвать, это два числа.
В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
Решение. В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.
Ответ: 0,25.
На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
Решение. Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть
...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна
Ответ: 0,33.
Замечание.
Пусть требуется найти вероятность того, что датские музыканты окажутся последними среди n выступающих от разных государств групп. Поставим команду Дании на последнее место и найдем количество перестановок без повторений из 
предыдущих групп: оно равно 
Общее количество перестановок из всех 
Поэтому искомая вероятность равна
В группе туристов
Решение. На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что
Ответ: 0,2.
За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.
Решение. Рассмотрим сидящую за столом девочку. За столом есть два места через одно от нее, на каждое из которых претендует 200 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, 
Ответ: 0,01.
Приведём другое решение.
Рассмотрим сидящую за столом девочку. Вероятность того, что на одно из двух мест справа или слева рядом с ней сядет мальчик, 
Приведём ещё одно решение.
Всего способов рассадить 201 человека на 201 стул равно 201!. Из них благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит девочка (на это есть два варианта), через один стул справа от неё сидит девочка (один вариант), а на остальных 199 стульях произвольно рассажены мальчики (199! вариантов). 
благоприятных
В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос о Великой Отечественной войне. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос о Великой Отечественной войне.
Решение. Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по Великой Отечественной войне, равна
Ответ: 0,26.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.
Решение. На циферблате между семью часами и четырьмя часами три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:
Ответ: 0,25.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение. За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 
Ответ: 0,16.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.
Решение. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, 
Ответ: 0,36.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Решение. Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три — 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Таким образом, искомая вероятность равна:
Ответ: 0,375.
Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, ровно две из цифр которого совпадают. У Пети разряжен телефон. Какова вероятность того, что он случайно угадает код? Ответ округлите до тысячных.
Решение. Найдем общее количество трехзначных кодов. Одинаковые цифры можно выбрать десятью способами, третью цифру, отличную от них, можно выбрать девятью способами. Всего
Ответ: 0,004.
Примечание.
Заметим, что согласно условию Петя знает о том, что в трехзначном коде ровно две цифры должны быть одинаковы.
Ещё 51+ таких задач с разборами — в тренажёре.
Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.
На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 4 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 61 задача с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.
Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.
База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.
Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.