Задание 5 ЕГЭ по математике (Профиль): Вероятности сложных событий

🎓

Что проверяет задание 5

В отличие от задания 4, одной формулой тут не обойтись: событий несколько, и их надо правильно связать. Две фабрики, два матча, лабиринт с развилками, формула полной вероятности — весь номер держится на двух словах: «и» и «или».

🧭

Как решать: короткий план

Разбейте сложное событие на простые и назовите вероятность каждого.
События происходят вместе («и») — вероятности перемножаем; подходит любое («или») — складываем.
Событий много и перечислять долго — посчитайте противоположное и вычтите из единицы.

💡

Главная ловушка: «Ровно один из двух» — это ДВА исхода, а не один: выиграл первый и проиграл второй плюс наоборот. Второй случай забывают чаще всего.

✍️

Примеры задания 5 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

Агрофирма закупает куриные яйца только в двух домашних хозяйствах. Известно, что 5% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 30% яиц высшей категории. В этой агрофирме 15% яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,6

Решение. Пусть событие A состоит в том, что яйцо имеет высшую категорию, события B₁ и B₂ состоят в том, что яйцо произведено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события $A|B_1$ и $A|B_2$ — события, состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

$P левая круглая скобка AB_1 правая круглая скобка плюс P левая круглая скобка AB_2 правая круглая скобка =P левая круглая скобка A|B_1 правая круглая скобка умножить на P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка плюс P левая круглая скобка A|B_2 правая круглая скобка умножить на P левая круглая скобка B_2 правая круглая скобка =$
$=0,05 умножить на P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка плюс 0,3 умножить на левая круглая скобка 1 минус P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка правая круглая скобка = минус 0,25P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка плюс 0,3.$ $P левая круглая скобка AB_1 правая круглая скобка плюс P левая круглая скобка AB_2 правая круглая скобка =$
$=P левая круглая скобка A|B_1 правая круглая скобка умножить на P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка плюс P левая круглая скобка A|B_2 правая круглая скобка умножить на P левая круглая скобка B_2 правая круглая скобка =$
$=0,05 умножить на P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка плюс 0,3 умножить на левая круглая скобка 1 минус P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= минус 0,25P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка плюс 0,3.$

По условию эта вероятность равна 0,15, поэтому для вероятности того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве, имеем:

$P левая круглая скобка B_1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 0,3 минус 0,15 правая круглая скобка :0,25=0,6.$

Ответ: 0,6.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,8836

Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94 · 0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,91

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3 · 0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,019

Решение. Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: $0,45 умножить на 0,03 = 0,0135.$

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: $0,55 умножить на 0,01 = 0,0055.$

Следовательно, по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна $0,0135 плюс 0,0055 = 0,019.$

Ответ: 0,019.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-⁠магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-⁠магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,02

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит нужный товар, равна $1 минус 0,9 = 0,1.$ Вероятность того, что второй магазин не доставит нужный товар, равна $1 минус 0,8 = 0,2.$ Эти события независимы, поэтому вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: $0,1 умножить на 0,2 = 0,02.$

Ответ: 0,02.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,2

Решение. При двукратном бросании кубика 8 очков может получиться только в пяти случаях: 6 + 2, 5 + 3, 4 + 4, 3 + 5 и 2 + 6. При этом во второй раз только единожды выпало 3 очка. Значит, вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка при условии, что в сумме выпало 8 очков, равна одной пятой.

Ответ: 0,2.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-⁠то порядке выпали 1 и 2 очка. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,1

Решение. На первом кубике 1 и 2 в каком-либо порядке могут выпасть следующим образом: при первом бросании 1, при втором 2 или наоборот. Всего 2 способа. Вероятность каждого из них равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 36.$

Чтобы 1 и 2 в каком-⁠то порядке выпали на втором кубике, он первый раз может выпасть любой гранью, а второй раз тремя гранями с количеством очков, отличным от выпавшего первый раз. Всего есть 6 · 3 = 18 способов. Вероятность каждого из них также равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 36.$

Таким образом, всего есть 20 равновероятных вариантов получить 1 и 2, из них первому кубику соответствует 2 варианта. Следовательно, вероятность того, что бросали первый кубик, равна $дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 20,$ то есть 0,1.

Ответ: 0,1.

Приведем другое решение.

Пусть событие А состоит в том, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, событие H₁ состоит в том, что был выбран первый кубик, событие H₂ состоит в том, что был выбран второй кубик. Кубики выбирали случайным образом, поэтому $P левая круглая скобка H_1 правая круглая скобка = P левая круглая скобка H_2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Искомая вероятность того, что бросали первый кубик, при условии, что выпало 1 и 2 очка, определяется по формуле условной вероятности:

Вероятность того, что при бросании первого кубика в каком-⁠то порядке выпали 1 и 2, равна

$P левая круглая скобка A|H_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби .$

На втором кубике числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-⁠то порядке выпали 1 и 2, равна

$P левая круглая скобка A|H_2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Следовательно, полная вероятность события А равна

$P левая круглая скобка A правая круглая скобка = P левая круглая скобка A|H_1 правая круглая скобка умножить на P левая круглая скобка H_1 правая круглая скобка плюс P левая круглая скобка A|H_2 правая круглая скобка умножить на P левая круглая скобка H_2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 18 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 18.$

Тогда

$P левая круглая скобка H_1|A правая круглая скобка = дробь: числитель: P левая круглая скобка A|H_1 правая круглая скобка P левая круглая скобка H_1 правая круглая скобка , знаменатель: P левая круглая скобка A правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 18 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 18 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10 = 0,1.$

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

На диаграмме Эйлера показаны события A и B в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновозможных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите $P левая круглая скобка B | A правая круглая скобка$ — условную вероятность события B при условии A.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,4

Решение. Из диаграммы определяем, что:

$P левая круглая скобка A правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 10,$

$P левая круглая скобка B правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 10,$

$P левая круглая скобка AB правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 10.$

Подставим найденные значения в формулу условной вероятности, получим:

$P левая круглая скобка B | A правая круглая скобка = дробь: числитель: P левая круглая скобка AB правая круглая скобка , знаменатель: P левая круглая скобка A правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 10, знаменатель: 10 умножить на 5 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби =0,4.$

Ответ: 0,4.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из пяти одинаковых мишеней. Вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?

Показать ответ и разбор

Ответ: 2

Решение. Вероятность попадания в мишень с первого раза равна 0,8. Вероятность противоположного события — промаха — равна $1 минус 0,8 = 0,2.$ Для нахождения вероятности событий «стрелок поразит ровно четыре мишени» и «стрелок поразит ровно три мишени» воспользуемся формулой Бернулли:

$P_5 левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = C в степени 4 _5 p в степени 4 q в степени 1 = дробь: числитель: 5!, знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 4 правая круглая скобка ! умножить на 4! конец дроби умножить на 0,8 в степени 4 умножить на 0,2 = 5 умножить на 0,8 в степени 4 умножить на 0,2,$

$P_5 левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = C в кубе _5 p в кубе q в квадрате = дробь: числитель: 5!, знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 3 правая круглая скобка ! умножить на 3! конец дроби умножить на 0,8 в кубе умножить на 0,2 в квадрате = 10 умножить на 0,8 в кубе умножить на 0,2 в квадрате .$

Теперь найдем искомые отношение вероятностей:

$дробь: числитель: P_5 левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , знаменатель: P_5 левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на 0,8 в степени 4 умножить на 0,2, знаменатель: 10 умножить на 0,8 в кубе умножить на 0,2 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 0,8, знаменатель: 0,4 конец дроби = 2.$

Ответ: 2.

Решать задачи №5 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Показать ответ и разбор

Ответ: 1,2

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

$P левая круглая скобка A правая круглая скобка =C в степени 5 _10 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 5 .$

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

$P левая круглая скобка B правая круглая скобка =C в степени 4 _10 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 6 .$

Тогда

$дробь: числитель: P левая круглая скобка A правая круглая скобка , знаменатель: P левая круглая скобка B правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: C в степени 5 _10 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , знаменатель: C в степени 4 _10 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 10!, знаменатель: 5! умножить на 5! конец дроби умножить на дробь: числитель: 4! умножить на 6!, знаменатель: 10! конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби =1,2.$

Ответ: 1,2

Приведём другое решение.

Вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 5 орлов, к общему количеству вариантов: $P левая круглая скобка A правая круглая скобка = дробь: числитель: N левая круглая скобка A правая круглая скобка , знаменатель: N конец дроби .$ Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 4 орла, к общему количеству вариантов: $P левая круглая скобка B правая круглая скобка = дробь: числитель: N левая круглая скобка B правая круглая скобка , знаменатель: N конец дроби .$ Тогда отношение этих вероятностей $дробь: числитель: P левая круглая скобка A правая круглая скобка , знаменатель: P левая круглая скобка B правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: N левая круглая скобка A правая круглая скобка , знаменатель: N левая круглая скобка B правая круглая скобка конец дроби .$

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно $C в степени 5 _10= дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6, знаменатель: 5! конец дроби .$

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно $C в степени 4 _10= дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7, знаменатель: 4! конец дроби .$

Тогда

$дробь: числитель: P левая круглая скобка A правая круглая скобка , знаменатель: P левая круглая скобка B правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6, знаменатель: 5! конец дроби : дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7, знаменатель: 4! конец дроби = дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4, знаменатель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на 5 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби =1,2.$ $дробь: числитель: P левая круглая скобка A правая круглая скобка , знаменатель: P левая круглая скобка B правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6, знаменатель: 5! конец дроби : дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7, знаменатель: 4! конец дроби =$
$= дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4, знаменатель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на 5 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби =1,2.$

Решать задачи №5 в тренажёре →

Ещё 64+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

74 задачи №5 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 5 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 5 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 74 задачи с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №4. Начала теории вероятностей №6. Простейшие уравнения →

Задание 5 ЕГЭ по математике: Вероятности сложных событий

Что проверяет задание 5

Как решать: короткий план

Примеры задания 5 с ответами и разборами

74 задачи №5 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы