Задание 6 ЕГЭ по математике (Профиль): Простейшие уравнения

🎓

Что проверяет задание 6

Показательные, логарифмические, иррациональные и тригонометрические уравнения. Каждое простейшее: одно действие «снимает» функцию, второе находит неизвестное — но область определения проверять обязательно.

🧭

Как решать: короткий план

Опознайте тип и «снимите» функцию обратной операцией: показательное — привести к одному основанию, логарифмическое — возвести основание в степень, корень — в квадрат.
Решите получившееся линейное или квадратное уравнение.
Подставьте корень обратно и проверьте область определения: под логарифмом строго положительное число.

💡

Главная ловушка: У тригонометрического уравнения бесконечно много корней. Формулировки «наибольший отрицательный», «наименьший положительный», «принадлежащий отрезку» задают ровно один — читайте их ДО записи ответа.

✍️

Примеры задания 6 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите корень уравнения: $дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби x= целая часть: 7, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 7 .$

Показать ответ и разбор

Ответ: 13

Решение. Последовательно получаем:

$дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби x= целая часть: 7, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 7 равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби x= дробь: числитель: 52, знаменатель: 7 конец дроби равносильно 4x=52 равносильно x=13.$

Ответ: 13.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите корень уравнения $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе = минус 8.$

Показать ответ и разбор

Ответ: -1

Решение. Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем $x минус 1= минус 2,$ откуда $x= минус 1.$

Ответ: −1.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Решите уравнение $дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 7x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби .$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Показать ответ и разбор

Ответ: 6

Решение. Дроби с одинаковыми числителями равны в двух случаях: а) знаменатели этих дробей равны и при этом отличны от нуля; б) числители дробей равны нулю, при этом все знаменатели отличны от нуля. Получаем:

$дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 7x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби равносильно система выражений 7x плюс 3 не равно 0, 5x минус 1 не равно 0, совокупность выражений x минус 6=0,7x плюс 3=5x минус 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 6,x = минус 2. конец совокупности .$

Больший из найденных корней равен 6.

Ответ: 6.

Приведем другое решение.

Используем свойство пропорции, раскроем скобки, получим квадратное уравнение:

$дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 7x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби равносильно система выражений 7x плюс 3 не равно 0, 5x минус 1 не равно 0, левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 7x плюс 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 7x плюс 3 не равно 0, 5x минус 1 не равно 0,5x в квадрате минус 31 x плюс 6 = 7x в квадрате минус 39x минус 18 конец системы . равносильно система выражений x не равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби , x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , x в квадрате минус 4x минус 12 = 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x=6,x= минус 2. конец совокупности .$ $равносильно система выражений 7x плюс 3 не равно 0, 5x минус 1 не равно 0,5x в квадрате минус 31 x плюс 6 = 7x в квадрате минус 39x минус 18 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби , x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , x в квадрате минус 4x минус 12 = 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x=6,x= минус 2. конец совокупности .$

Искомый больший корень равен 6.

Приведем еще одно решение.

Используем свойство пропорции, разложим на множители:

$дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 7x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби \Rightarrow левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 7x плюс 3 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 7x плюс 3 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2x минус 4 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=6,x= минус 2. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 7x плюс 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2x минус 4 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=6,x= минус 2. конец совокупности .$

При умножении на зависящие от переменной знаменатели могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение:

$дробь: числитель: 6 минус 6, знаменатель: 42 плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: 6 минус 6, знаменатель: 30 минус 1 конец дроби$ — верно,

$дробь: числитель: минус 2 минус 6, знаменатель: минус 14 плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: минус 2 минус 6, знаменатель: минус 10 минус 1 конец дроби$ — верно.

Следовательно, уравнение имеет два корня, больший из которых равен 6.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2x плюс 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента =5.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 35

Решение. Возведем в квадрат:

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2x плюс 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента =5 равносильно дробь: числитель: 2x плюс 5, знаменатель: 3 конец дроби =25 равносильно 2x плюс 5=75 равносильно x=35.$

Ответ: 35.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента =6.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 38

Решение. Возведём в квадрат обе части уравнения. Получим $x минус 2=36,$ откуда $x=38.$

Ответ: 38.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка 4 минус 2x правая круглая скобка = 64.$

Показать ответ и разбор

Ответ: -1

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

$2 в степени левая круглая скобка 4 минус 2x правая круглая скобка = 64 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 4 минус 2x правая круглая скобка = 2 в степени 6 равносильно 4 минус 2x = 6 равносильно x = минус 1.$

Ответ: − 1.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите корень уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3 плюс x правая круглая скобка =512.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 0

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3 плюс x правая круглая скобка =512 равносильно 8 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка =8 в кубе равносильно 3 минус x=3 равносильно x=0.$

Ответ: 0.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка .$

Показать ответ и разбор

Ответ: -3

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка равносильно 5 в степени левая круглая скобка минус 2x минус 4 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка равносильно минус 2x минус 4=x плюс 5 равносильно x= минус 3.$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка минус 2x минус 4 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка равносильно минус 2x минус 4=x плюс 5 равносильно x= минус 3.$

Ответ: −3.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

Найдите корень уравнения $\log _5} левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =\log _53.$

Показать ответ и разбор

Ответ: 2

Решение. Последовательно получаем:

$\log _5 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =\log _53 равносильно 5 минус x=3 равносильно x=2.$

Ответ: 2.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка 49=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и разбор

Ответ: 12

Решение. Решим уравнение:

$\log _x минус 549=2 равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате =49, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x минус 5=\pm 7, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно x минус 5=7 равносильно x=12.$ $\log _x минус 549=2 равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате =49, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x минус 5=\pm 7, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно x минус 5=7 равносильно x=12.$

Итак, уравнение имеет только один корень.

Приведём другое решение.

$\log _x минус 5}49=2 равносильно \log _x минус 5}7 в квадрате =2 равносильно 2\log _x минус 5}7=2 равносильно \log _x минус 5}7=1 равносильно x минус 5=7 равносильно x=12.$

Ответ: 12.

Решать задачи №6 в тренажёре →

Ещё 61+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

71 задача №6 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 6 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 6 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 71 задача с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №5. Вероятности сложных событий №7. Вычисления и преобразования →

Задание 6 ЕГЭ по математике: Простейшие уравнения

Что проверяет задание 6

Как решать: короткий план

Примеры задания 6 с ответами и разборами

71 задача №6 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы