Задание 10 ЕГЭ по математике (Профиль): Текстовые задачи

🎓

Что проверяет задание 10

Движение, совместная работа, сплавы и смеси, проценты. В профильном варианте проценты — не арифметика в одно действие, а уравнение: сам процент обычно и есть неизвестное.

🧭

Как решать: короткий план

Определите тип задачи и обозначьте за x ровно то, что спрашивают.
Заполните табличку по каждому участнику: скорость · время = расстояние или производительность · время = работа.
Составьте уравнение по фразе-связке: «на 2 часа больше», «одновременно», «вместе», «поровну».

💡

Главная ловушка: «Подорожало на p%, потом подешевело на p%» — цена ВСЕГДА ниже исходной: множители (1 + p⁄100) и (1 − p⁄100) дают в произведении 1 − p²⁄10000. Например, +20% и −20% оставляют 0,96 от начальной цены. Отсюда и находится сам процент.

✍️

Примеры задания 10 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $8 \%,$ а в 2010 году на $9 \%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Показать ответ и разбор

Ответ: 47088

Решение. В 2009 году число жителей стало $40000 плюс 0,08 умножить на 40000=43200$ человек, а в 2010 году число жителей стало $43200 плюс 0,09 умножить на 43200=47088$ человек.

Ответ: 47 088.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Показать ответ и разбор

Ответ: 100

Решение. Пусть масса первого сплава m₁ кг, а масса второго — m₂ кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах суть $0,1m_1$ и $0,3m_2$ соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:

$система выражений m_1 плюс m_2 = 200, 0,1m_1 плюс 0,3m_2 = 0,25 умножить на 200 конец системы . равносильно система выражений m_2 = 200 минус m_1, 0,1m_1 плюс 0,3 левая круглая скобка 200 минус m_1 правая круглая скобка = 50 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений m_2 = 200 минус m_1, 0,2m_1 = 10 конец системы . равносильно система выражений m_1 = 50, m_2 = 150. конец системы .$ $система выражений m_1 плюс m_2 = 200, 0,1m_1 плюс 0,3m_2 = 0,25 умножить на 200 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений m_2 = 200 минус m_1, 0,1m_1 плюс 0,3 левая круглая скобка 200 минус m_1 правая круглая скобка = 50 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений m_2 = 200 минус m_1, 0,2m_1 = 10 конец системы . равносильно система выражений m_1 = 50, m_2 = 150. конец системы .$

Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.

Ответ: 100.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/⁠ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 10

Решение. Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна $v плюс 40$ км/⁠ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

$дробь: числитель: 75, знаменатель: v конец дроби минус дробь: числитель: 75, знаменатель: v плюс 40 конец дроби =6 равносильно дробь: числитель: 75 умножить на 40, знаменатель: v левая круглая скобка v плюс 40 правая круглая скобка конец дроби =6\underset v больше 0\mathop равносильно 25 умножить на 20= v левая круглая скобка v плюс 40 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно v в квадрате плюс 40 v минус 500=0 равносильно совокупность выражений v =10; v = минус 50 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =10.$ $дробь: числитель: 75, знаменатель: v конец дроби минус дробь: числитель: 75, знаменатель: v плюс 40 конец дроби =6 равносильно дробь: числитель: 75 умножить на 40, знаменатель: v левая круглая скобка v плюс 40 правая круглая скобка конец дроби =6\underset v больше 0\mathop равносильно$
$\underset v больше 0\mathop равносильно 25 умножить на 20= v левая круглая скобка v плюс 40 правая круглая скобка равносильно v в квадрате плюс 40 v минус 500=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений v =10; v = минус 50 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =10.$

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/⁠ч.

Ответ: 10.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/⁠ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 45

Решение. Скорость товарного поезда меньше, чем скорого, на 750 м/⁠мин, или на

$дробь: числитель: 0,75 км, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби ч конец дроби =45 км/ч.$

Пусть υ км/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда — $v плюс 45$ км/ч. На путь в 180 км товарный поезд тратит времени на 2 часа больше, чем скорый, отсюда имеем:

$дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180, знаменатель: v плюс 45 конец дроби плюс 2 равносильно дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180 плюс 2 v плюс 90, знаменатель: v плюс 45 конец дроби равносильно 180 v плюс 180 умножить на 45=270 v плюс 2 v в квадрате равносильно$
$равносильно 2 v в квадрате плюс 90 v минус 180 умножить на 45=0 равносильно v в квадрате плюс 45 v минус 90 умножить на 45=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =45; новая строка v = минус 90 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =45.$ $дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180, знаменатель: v плюс 45 конец дроби плюс 2 равносильно дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180 плюс 2 v плюс 90, знаменатель: v плюс 45 конец дроби равносильно$
$равносильно 180 v плюс 180 умножить на 45=270 v плюс 2 v в квадрате равносильно 2 v в квадрате плюс 90 v минус 180 умножить на 45=0 равносильно$
$равносильно v в квадрате плюс 45 v минус 90 умножить на 45=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =45; новая строка v = минус 90 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =45.$ $дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180, знаменатель: v плюс 45 конец дроби плюс 2 равносильно дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180 плюс 2 v плюс 90, знаменатель: v плюс 45 конец дроби равносильно$
$равносильно 180 v плюс 180 умножить на 45=270 v плюс 2 v в квадрате равносильно$
$равносильно 2 v в квадрате плюс 90 v минус 180 умножить на 45=0 равносильно v в квадрате плюс 45 v минус 90 умножить на 45=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка v =45; новая строка v = минус 90 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =45.$ $дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180, знаменатель: v плюс 45 конец дроби плюс 2 равносильно дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180 плюс 2 v плюс 90, знаменатель: v плюс 45 конец дроби равносильно$
$равносильно 180 v плюс 180 умножить на 45=270 v плюс 2 v в квадрате равносильно$
$равносильно 2 v в квадрате плюс 90 v минус 180 умножить на 45=0 равносильно$
$равносильно v в квадрате плюс 45 v минус 90 умножить на 45=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка v =45; новая строка v = минус 90 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =45.$

Ответ: 45.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и разбор

Ответ: 400

Решение. Скорость сближения поездов равна 60 км/ч, или 1 км/мин. Следовательно, за 1 минуту пассажирский поезд сместится относительно товарного на 1 км. При этом он преодолеет расстояние, равное сумме длин поездов. Поэтому длина пассажирского поезда равна $1000 минус 600 = 400 м.$

Ответ: 400.

Приведём другое решение.

Скорость сближения поездов равна

$90 минус 30 = 60 км/ч = дробь: числитель: 50, знаменатель: 3 конец дроби м/с.$

Пусть длина пассажирского поезда равна х метрам. За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние $x плюс 600 м.$ Тогда:

$x плюс 600 = дробь: числитель: 50, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 60 равносильно x плюс 600 = 1000 равносильно x = 400.$

Поэтому длина пассажирского поезда — 400 м.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 80

Решение. К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/ч, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/⁠ч.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/⁠ч.

Итак, 3х = 60 км/⁠ч, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/⁠ч, а скорость мотоциклиста равна 80 км/⁠ч.

Ответ: 80.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Баржа в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от $A.$ Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт A в 16:00 того же дня. Определите (в км/⁠ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна $7$ км/ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 2

Решение. Пусть u км/ч — скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна $7 плюс u$ км/ч, а скорость баржи против течения равна $7 минус u$ км/ч. Баржа вернулась в пункт A через 6 часов, но пробыла в пункте B 1 час 20 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением:

$дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 минус u конец дроби плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 плюс u конец дроби =6 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 15 умножить на левая круглая скобка 7 плюс u правая круглая скобка плюс 15 умножить на левая круглая скобка 7 минус u правая круглая скобка , знаменатель: 49 минус u в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$

$\undersetu больше 0\mathop равносильно 30 умножить на 7 умножить на 3=14 умножить на 49 минус 14u в квадрате равносильно u в квадрате =4 равносильно совокупность выражений новая строка u=2; новая строка u= минус 2 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=2.$

Поэтому скорость течения реки равна 2 км/⁠ч.

Ответ: 2.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Показать ответ и разбор

Ответ: 10

Решение. Обозначим n — число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает $n плюс 1$ деталь. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей, отсюда имеем:

$дробь: числитель: 99, знаменатель: n плюс 1 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно дробь: числитель: 101 плюс 2n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно 110 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка 101 плюс 2n правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2n в квадрате минус 9n минус 110 = 0 равносильно совокупность выражений n = дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , n = дробь: числитель: 9 плюс корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений n = минус 5,5, n = 10 конец совокупности . \undersetn больше 0\mathop равносильно n = 10.$ $дробь: числитель: 99, знаменатель: n плюс 1 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно дробь: числитель: 101 плюс 2n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно$
$равносильно 110 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка 101 плюс 2n правая круглая скобка равносильно 2n в квадрате минус 9n минус 110 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений n = дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , n = дробь: числитель: 9 плюс корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений n = минус 5,5, n = 10 конец совокупности . \undersetn больше 0\mathop равносильно n = 10.$ $дробь: числитель: 99, знаменатель: n плюс 1 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно дробь: числитель: 101 плюс 2n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно$
$равносильно 110 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка 101 плюс 2n правая круглая скобка равносильно 2n в квадрате минус 9n минус 110 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений n = дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , n = дробь: числитель: 9 плюс корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений n = минус 5,5, n = 10 конец совокупности . \undersetn больше 0\mathop равносильно n = 10.$ $дробь: числитель: 99, знаменатель: n плюс 1 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно дробь: числитель: 101 плюс 2n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно$
$равносильно 110 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка 101 плюс 2n правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2n в квадрате минус 9n минус 110 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений n = дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , n = дробь: числитель: 9 плюс корень из: начало аргумента: 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений n = минус 5,5, n = 10 конец совокупности . \undersetn больше 0\mathop равносильно n = 10.$

Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час.

Ответ: 10.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Показать ответ и разбор

Ответ: 30

Решение. За минуту Маша пропалывает одну двадцатую грядки, а Маша с Дашей вместе — одну двенадцатую. Поэтому за одну минуту Даша пропалывает $дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби$ грядки. Всю грядку она прополет за 30 минут.

Ответ: 30.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

При двух одновременно работающих принтерах расход бумаги составляет 1 пачку за 12 минут. Определите, за сколько минут израсходует пачку бумаги первый принтер, если известно, что он сделает это на 10 минут быстрее, чем второй.

Показать ответ и разбор

Ответ: 20

Решение. Пусть первый принтер расходует пачку бумаги за t минут, тогда второй — за $t плюс 10$ минут. Принтеры расходуют бумагу со скоростью $дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 10 конец дроби$ пачки в минуту, при этом за минуту принтеры расходуют $дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби$ пачки бумаги. Из уравнения $дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 10 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби$ подбором находим $t=20.$ Искомое решение единственно в силу убывания левой части уравнения на луче $левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Таким образом, первый принтер израсходует пачку бумаги за 20 минут.

Ответ: 20.

Приведем примечание Михаила Бабинчука о решении уравнения.

По смыслу задачи t > 0, следовательно, можно домножить обе части уравнения на 12 t (t + 10), получим

$12t плюс 10 умножить на 12 плюс 12t=t в квадрате плюс 10t равносильно t в квадрате минус 14t минус 120=0.$

Корнями данного уравнения являются числа − 6 и 20, из которых по смыслу задачи подходит число 20.

Решать задачи №10 в тренажёре →

Ещё 92+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

102 задачи №10 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 10 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 10 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 102 задачи с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №9. Задачи с прикладным содержанием №11. Графики функций →

Задание 10 ЕГЭ по математике: Текстовые задачи

Что проверяет задание 10

Как решать: короткий план

Примеры задания 10 с ответами и разборами

102 задачи №10 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы