Задание 10 ЕГЭ по математике (Профиль): Текстовые задачи

🎓

Что проверяет задание 10

Движение, совместная работа, сплавы и смеси, проценты. В профильном варианте проценты — не арифметика в одно действие, а уравнение: сам процент обычно и есть неизвестное.

🧭

Как решать: короткий план

Определите тип задачи и обозначьте за x ровно то, что спрашивают.
Заполните табличку по каждому участнику: скорость · время = расстояние или производительность · время = работа.
Составьте уравнение по фразе-связке: «на 2 часа больше», «одновременно», «вместе», «поровну».

💡

Главная ловушка: «Подорожало на p%, потом подешевело на p%» — цена ВСЕГДА ниже исходной: множители (1 + p⁄100) и (1 − p⁄100) дают в произведении 1 − p²⁄10000. Например, +20% и −20% оставляют 0,96 от начальной цены. Отсюда и находится сам процент.

✍️

Примеры задания 10 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $8 \%,$ а в 2010 году на $9 \%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Показать ответ и разбор

Ответ: 47088

Решение. В 2009 году число жителей стало $40000 плюс 0,08 умножить на 40000=43200$ человек, а в 2010 году число жителей стало $43200 плюс 0,09 умножить на 43200=47088$ человек.

Ответ: 47 088.

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/⁠ч. Через час после него со скоростью 10 км/⁠ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/⁠ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 25

Решение. Пусть $v$ км/ч — скорость третьего велосипедиста, а t ч — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста. Таким образом,

$v t=10 умножить на левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка равносильно v = дробь: числитель: 10 умножить на левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби .$

А через 2 часа 20 минут после этого третий велосипедист догнал первого. Таким образом,

$v умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =15 умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 10 умножить на левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3t плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: 3t конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 3t плюс 13 правая круглая скобка равносильно$ $v умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =15 умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 10 умножить на левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3t плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: 3t конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 3t плюс 13 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 6t в квадрате плюс 20t плюс 14=9t в квадрате плюс 39t равносильно 3t в квадрате плюс 19t минус 14=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка t= дробь: числитель: минус 19 плюс корень из: начало аргумента: 19 в квадрате плюс 4 умножить на 3 умножить на 14 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; новая строка t= дробь: числитель: минус 19 минус корень из: начало аргумента: 19 в квадрате плюс 4 умножить на 3 умножить на 14 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби = минус 7 конец совокупности .\undersett больше 0\mathop равносильно t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Таким образом, $v = дробь: числитель: 10 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби =25.$

Ответ: 25.

Приведем другое решение.

Примем за х км/⁠ч скорость третьего велосипедиста. Тогда скорость сближения второго и третьего велосипедистов равна $x минус 10$ км/ч, а скорость сближения первого и третьего велосипедистов равна $x минус 15$ км/ч. Второй велосипедист выехал на час раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 10 км. Чтобы преодолеть это расстояние, третьему велосипедисту понадобилось $дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 10 конец дроби$ часа. Первый велосипедист выехал на два часа раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 30 км. Следовательно, третий велосипедист догнал первого за $дробь: числитель: 30, знаменатель: x минус 15 конец дроби$ часа. Третий велосипедист догнал первого через 7/⁠3 часа после того, как он догнал второго, поэтому можно составить уравнение:

$дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 30, знаменатель: x минус 15 конец дроби .$

При условии $x больше 15,$ избавляясь от знаменателей, получаем:

$30 левая круглая скобка x минус 15 правая круглая скобка плюс 7 левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 15 правая круглая скобка = 90 левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка равносильно 7x в квадрате минус 235x плюс 1500 = 0.$

Найдем дискриминант:

$235 в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 1500 = левая круглая скобка 47 умножить на 5 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на левая круглая скобка 25 умножить на 60 правая круглая скобка = 25 умножить на левая круглая скобка 47 в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 60 правая круглая скобка =$
$= 25 умножить на левая круглая скобка 2209 минус 1680 правая круглая скобка = 25 умножить на 529 = левая круглая скобка 5 умножить на 23 правая круглая скобка в квадрате = 115 в квадрате .$ $235 в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 1500 = левая круглая скобка 47 умножить на 5 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на левая круглая скобка 25 умножить на 60 правая круглая скобка =$
$= 25 умножить на левая круглая скобка 47 в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 60 правая круглая скобка = 25 умножить на левая круглая скобка 2209 минус 1680 правая круглая скобка =$
$= 25 умножить на 529 = левая круглая скобка 5 умножить на 23 правая круглая скобка в квадрате = 115 в квадрате .$

Следовательно, $x = дробь: числитель: 235 \pm 115, знаменатель: 14 конец дроби .$

Меньший корень $x = дробь: числитель: 60, знаменатель: 7 конец дроби$ меньше 15, а потому не подходит. Больший корень, равный 25, подходит. Скорость третьего велосипедиста равна 25 км/⁠ч.

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Между пристанями А и Б по озеру курсировал старый катер. Потом его заменили катером на подводных крыльях, скорость которого на 15 км/⁠ч больше. Поэтому время в пути от А до Б сократилось на 36 минут. Найдите скорость старого катера, если расстояние между пристанями равно 40 км. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 25

Решение. Пусть u км/ч — скорость старого катера, тогда скорость катера на подводных крыльях равна u + 15 км/⁠ч. Новый катер стал проплывать расстояние от А до Б быстрее на 36 минут, поэтому

$дробь: числитель: 40, знаменатель: u конец дроби минус дробь: числитель: 40, знаменатель: u плюс 15 конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: 60 конец дроби равносильно дробь: числитель: 15 умножить на 40, знаменатель: u в квадрате плюс 15u конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: 60 конец дроби \undersetu больше 0\mathop равносильно 3000 = 3 левая круглая скобка u в квадрате плюс 15 u правая круглая скобка равносильно$
$равносильно u в квадрате плюс 15u минус 1000=0 равносильно совокупность выражений u=25, u= минус 40 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=25.$ $дробь: числитель: 40, знаменатель: u конец дроби минус дробь: числитель: 40, знаменатель: u плюс 15 конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: 60 конец дроби равносильно дробь: числитель: 15 умножить на 40, знаменатель: u в квадрате плюс 15u конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: 60 конец дроби \undersetu больше 0\mathop равносильно$
$\undersetu больше 0\mathop равносильно 3000 = 3 левая круглая скобка u в квадрате плюс 15 u правая круглая скобка равносильно u в квадрате плюс 15u минус 1000=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений u=25, u= минус 40 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=25.$

Таким образом, скорость старого катера равна 25 км/⁠ч.

Ответ: 25.

Ещё 99+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

102 задачи №10 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Бесплатный старт — без карты.

Начать бесплатно →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 10 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 10 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 102 задачи с мгновенной проверкой и разбором каждой. Начать можно бесплатно.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №9. Задачи с прикладным содержанием №11. Графики функций →

Задание 10 ЕГЭ по математике: Текстовые задачи

Что проверяет задание 10

Как решать: короткий план

Примеры задания 10 с ответами и разборами

102 задачи №10 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы