Задание 9 ЕГЭ по математике (Профиль): Задачи с прикладным содержанием

🎓

Что проверяет задание 9

Формула всегда дана в условии — учить физику не нужно. Отличие от простой подстановки в том, что здесь чаще получается неравенство: спрашивают «при каком наибольшем значении», «в течение какого времени», «не превысит ли».

🧭

Как решать: короткий план

Выпишите формулу и все данные столбиком: что чему равно и что ищем.
Подставьте известные величины — часто после этого остаётся одна буква.
Есть слова «не менее», «не более», «наибольшее» — составляйте неравенство, а не уравнение.

💡

Главная ловушка: Константы (g, плотность, коэффициенты) берите ИЗ УСЛОВИЯ, а не из учебника: подставив «правильное» значение, вы получите не тот ответ. И отрицательный корень отбрасывайте — время и масса неотрицательны.

✍️

Примеры задания 9 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

При температуре $0 градусов C$ рельс имеет длину $l_0 =10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l левая круглая скобка t градусов правая круглая скобка = l_0 левая круглая скобка 1 плюс альфа умножить на t градусов правая круглая скобка ,$ где $альфа = 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка градусов C правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ — коэффициент теплового расширения, $t градусов$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Показать ответ и разбор

Ответ: 25

Решение. Задача сводится к решению уравнения $l левая круглая скобка t градусов правая круглая скобка минус l_0 = 3$ мм при заданных значениях длины $l_0=10$ м и коэффициента теплового расширения $альфа =1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка градусов C правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ :

$l левая круглая скобка t градусов правая круглая скобка минус l_0 = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно l_0 левая круглая скобка 1 плюс альфа умножить на t градусов правая круглая скобка минус l_0 = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно l_0 альфа t градусов = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 10 умножить на 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка t градусов = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно t градусов = дробь: числитель: 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка конец дроби равносильно t градусов = 25 градусов C.$

Ответ: 25.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,6 плюс 8t минус 5t в квадрате ,$ где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Показать ответ и разбор

Ответ: 1,2

Решение. Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно три метра. Для этого решим уравнение $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =3$ :

$h левая круглая скобка t правая круглая скобка =3 равносильно 1,6 плюс 8t минус 5t в квадрате =3 равносильно 5t в квадрате минус 8t плюс 1,4=0 равносильно совокупность выражений новая строка t=0,2; новая строка t=1,4. конец совокупности .$

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени $t=0,2$ (с) мяч находился на высоте 3 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени $t=1,4$ (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее трёх метров 1,4 − 0,2 = 1,2 секунды.

Ответ: 1,2.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v _0 = 20$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 5$ м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v _0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Показать ответ и разбор

Ответ: 2

Решение. Найдем, за какое время, прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет 30 метров:

$20t минус 2,5t в квадрате =30 равносильно t в квадрате минус 8t плюс 12=0 равносильно совокупность выражений t=6, t=2. конец совокупности .$

Значит, через 2 секунды после начала торможения автомобиль проедет 30 метров.

Ответ: 2.

Примечание о выборе корня.

Формула $S = 20t минус 2,5t в квадрате$ описывает движение автомобиля от начала торможения до полной остановки. Моменту остановки соответствует наибольший пройденный путь. Наибольшее значение квадратного трехчлена $at в квадрате плюс bt плюс c$ достигается в точке $t_0 = минус дробь: числитель: b, знаменатель: конец дроби 2a,$ в нашем случае $t_0 = дробь: числитель: минус 20, знаменатель: минус 5 конец дроби = 4 \с.$ Следовательно, через 4 секунды после начала движения автомобиль остановится. Поэтому больший корень уравнения не подходит по смыслу задачи.

Если бы автомобиль после остановки продолжил движение в соответствии с заданной формулой, он поехал бы назад, увеличивая скорость. В некоторый момент времени автомобиль вновь оказался бы на заданном расстоянии от начального положения. Этот момент определяется большим корнем решенного уравнения.

Для читателей, закончивших 9 класс, приведем объяснение в общем виде, опираясь на знания курса физики. При равноускоренном движении $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =x_0 плюс v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $v левая круглая скобка t правая круглая скобка = v _0 плюс at.$ Из формулы скорости следует, что при торможении скорость тела достигает нуля в момент времени $t_0 = минус дробь: числитель: v _0, знаменатель: a конец дроби .$ Поэтому при решении задач на пройденный при торможении путь допустимыми являются моменты времени, не большие t₀.

Рекомендуем сравнить это задание с заданиями 27961 и 27962.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 4из банка тренажёра «Выше Балл»

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус 5t в квадрате плюс 18t,$ где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров?

Показать ответ и разбор

Ответ: 2,4

Решение. Определим моменты времени, когда камень находился на высоте ровно 9 метров. Для этого решим уравнение $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =9$ :

$h левая круглая скобка t правая круглая скобка =9 равносильно минус 5t в квадрате плюс 18t=9 равносильно минус 5t в квадрате плюс 18t минус 9=0 равносильно совокупность выражений новая строка t=3; новая строка t=0,6. конец совокупности .$

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи камень брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени $t=0,6$ (с) камень находился на высоте 9 метров, двигаясь снизу вверх, а в момент времени $t=3$ (с) камень находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее девяти метров 2,4 секунды.

Ответ: 2,4.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 5из банка тренажёра «Выше Балл»

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% ,$ где $T_1$ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $15\%,$ если температура холодильника $T_2 = 340$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Показать ответ и разбор

Ответ: 400

Решение. Задача сводится к решению неравенства $\eta больше или равно 15%$ при известном значении температуры холодильника $T_2=340К$ :

$\eta больше или равно 15 равносильно дробь: числитель: T_1 минус 340, знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100 больше или равно 15 равносильно 100T_1 минус 34000 больше или равно 15T_1 равносильно T_1 больше или равно 400$ К.

Ответ: 400.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 6из банка тренажёра «Выше Балл»

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону $l = l_0 корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: c в квадрате конец дроби конец аргумента ,$ где l₀ = 5 м — длина покоящейся ракеты, c = 3 · 10⁵ км/с — скорость света, а υ — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/⁠с.

Показать ответ и разбор

Ответ: 180000

Решение. Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 4 м. Задача сводится к решению уравнения $l_0 корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: c в квадрате конец дроби конец аргумента = 4$ при заданном значении длины покоящейся ракеты $l_0 = 5 м$ и известной величине скорости света $c = 3 умножить на 10 в степени 5 км/с:$

$5 корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка = 4 равносильно 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби равносильно v в квадрате = дробь: числитель: 81, знаменатель: 25 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка равносильно v = 180 000 км/с.$ $5 корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби равносильно дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби равносильно$
$равносильно v в квадрате = дробь: числитель: 81, знаменатель: 25 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка равносильно v = 180 000 км/с.$

Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна 180 000 км/⁠с.

Ответ: 180 000.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 7из банка тренажёра «Выше Балл»

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч². Скорость вычисляется по формуле $v = корень из: начало аргумента: 2la конец аргумента ,$ где l — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/⁠ч.

Показать ответ и разбор

Ответ: 1

Решение. Преобразуем данную в условии формулу:

$v = корень из: начало аргумента: 2la конец аргумента равносильно v в квадрате = 2la равносильно l = дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби .$

Подставим значения и вычислим:

$l = дробь: числитель: 100 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 5000 конец дроби = дробь: числитель: 10000, знаменатель: 2 умножить на 5000 конец дроби = 1км.$

Ответ: 1.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 8из банка тренажёра «Выше Балл»

Автомобиль массой m кг начинает тормозить и проходит до полной остановки путь S м. Сила трения F (в Н), масса автомобиля m (в кг), время t (в с) и пройденный путь S (в м) связаны соотношением $F= дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби .$ Определите, сколько секунд заняло торможение, если известно, что сила трения равна 2000 Н, масса автомобиля — 1500 кг, путь — 600 м.

Показать ответ и разбор

Ответ: 30

Решение. Преобразуем данную в условии формулу:

$t в квадрате = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: F конец дроби равносильно t = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2ms, знаменатель: F конец дроби конец аргумента .$

Подставим значения и вычислим:

$t = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2ms, знаменатель: F конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2 умножить на 1500 умножить на 600, знаменатель: 2000 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: 900 конец аргумента =30.$

Ответ: 30.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 9из банка тренажёра «Выше Балл»

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па) — давление газа, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 5 раз?

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,5

Решение. Пусть $p_1$ и $V_1$ — начальные, а $p_2$ и $V_2$ — конечные значения объема и давления газа соответственно. Условие $pV в степени a = const$ означает, что $p_1V_1 в степени a = p_2V_2 в степени a ,$ откуда $дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби = дробь: числитель: V_1 в степени a , знаменатель: V_2 в степени a конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби правая круглая скобка в степени a .$ Задача сводится к решению неравенства $дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби больше или равно 5,$ причем по условию $дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби =25$ :

$левая круглая скобка дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби правая круглая скобка в степени a больше или равно 5 равносильно 25 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка больше или равно 5 равносильно a больше или равно 0,5.$

Ответ: 0,5.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Пример 10из банка тренажёра «Выше Балл»

Два тела массой $m=2$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v =10$ м/с под углом $2 альфа$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением $Q = m v в квадрате синус в квадрате альфа .$ Под каким наименьшим углом $2 альфа$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

Показать ответ и разбор

Ответ: 60

Решение. Задача сводится к решению неравенства $Q больше или равно 50$ Дж на полуинтервале $2 альфа принадлежит левая круглая скобка 0 градусов ; 180 градусов правая квадратная скобка$ при заданных значениях массы тел $m=2$ кг и их скоростей $v =10$ м/с:

$m v в квадрате синус в квадрате альфа больше или равно 50 равносильно 200 синус в квадрате альфа больше или равно 50 равносильно синус в квадрате альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно$
$\underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно синус альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно 30 градусов меньше или равно альфа \leqslant90 градусов .$ $m v в квадрате синус в квадрате альфа больше или равно 50 равносильно 200 синус в квадрате альфа больше или равно 50 равносильно$
$равносильно синус в квадрате альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно$
$\underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно синус альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно 30 градусов меньше или равно альфа \leqslant90 градусов .$

Значит, наименьший угол $2 альфа = 2 умножить на 30 градусов = 60 градусов.$

Ответ: 60.

Решать задачи №9 в тренажёре →

Ещё 67+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

77 задач №9 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.

Открыть тренировку →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 9 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 9 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 77 задач с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №8. Производная и первообразная №10. Текстовые задачи →

Задание 9 ЕГЭ по математике: Задачи с прикладным содержанием

Что проверяет задание 9

Как решать: короткий план

Примеры задания 9 с ответами и разборами

77 задач №9 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы