ВЫШЕ БАЛЛматематика№8
Задание 8 ЕГЭ по математике: Производная и первообразная
профильный уровень · 81 задача из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
81 задачаПрофильразбор у каждой10 открытых примеров
Открыть тренировку →
ВЫШЕ БАЛЛматематикапрофильный уровень · 81 задача из открытого банка ФИПИ с ответами и разборами
Три сюжета: движение точки по закону, чтение графика производной и касательная. Во всех нужна одна мысль — производная это скорость изменения, а на графике производной высота означает наклон исходной функции.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость
Решение. Найдем закон изменения скорости:
При t = 9 c имеем:
м/с.
Ответ: 60.
На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение. 
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C (−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:
Ответ: 2.
На рисунке изображен график производной функции 
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику 
параллельна прямой 
или совпадает с ней.
Решение. 
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и 
Осталось найти, при каких x производная принимает значение 2. Искомая точка 
Ответ: 5.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции
Решение. 
Найдём производную функции g(x):
По рисунку найдём значение 
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Поэтому 
Тогда для искомого значения получаем
Ответ: −7.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 
в точке x0.
Решение. Найдём производную функции g(x):
Найдём значение Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Тогда искомое значение
Ответ: −2.
На рисунке изображён график 
— производной функции 
определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция 
принимает наибольшее значение?
Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
На заданном отрезке производная функции неположительна, функция на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
Ответ: −3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
Решение. Если производная в некоторой точке равна нулю и меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [−2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно,
Ответ: 4.
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Решение. 
Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Таким образом, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].
Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).
Таким образом, наименьшего значения функция f достигает в
Ответ: 3.
Примечание.
Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.
Примечание.
Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.
Примечание.
В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.
На рисунке изображён график функции 
Найдите количество точек минимума функции 
принадлежащих интервалу (−4; 7).
Решение. Точки минимума соответствуют точкам, в которых функция перестаёт убывать и начинает возрастать. На интервале (−4; 7) функция имеет пять точек минимума.
Ответ: 5.
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6.
Сколько из отмеченных точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
Решение. Точки x1, x2, x3 принадлежат промежуткам возрастания функции. Таких точек 3.
Ответ: 3.
Ещё 71+ таких задач с разборами — в тренажёре.
Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Регистрация без карты. Задания 1–6 доступны бесплатно, остальные — в Pro.
На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 8 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 81 задача с мгновенной проверкой и разбором каждой. Примеры на странице открыты, тренировки по математике входят в Pro.
Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.
База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.
Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.