Задание 8 ЕГЭ по математике (Профиль): Производная и первообразная

🎓

Что проверяет задание 8

Три сюжета: движение точки по закону, чтение графика производной и касательная. Во всех нужна одна мысль — производная это скорость изменения, а на графике производной высота означает наклон исходной функции.

🧭

Как решать: короткий план

Определите сюжет: дана формула движения, дан график функции или дан график её производной — это сказано в первой строке.
В задачах на движение продифференцируйте закон и подставьте момент времени: скорость это производная координаты, ускорение — производная скорости.
В задачах на график считайте не значения, а знаки и точки, где производная меняет знак.

💡

Главная ловушка: Точек экстремума столько, сколько раз производная МЕНЯЕТ ЗНАК, а не сколько раз обращается в ноль. Касание оси без смены знака экстремумом не является — на этом и построена ловушка.

✍️

Примеры задания 8 с ответами и разборами

Пример 1из банка тренажёра «Выше Балл»

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =6t в квадрате минус 48t плюс 17$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/⁠с) в момент времени t = 9 с.

Показать ответ и разбор

Ответ: 60

Решение. Найдем закон изменения скорости:

$v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка =12t минус 48.$

При t = 9 c имеем:

$v левая круглая скобка 9 правая круглая скобка =12 умножить на 9 минус 48=60$ м/с.

Ответ: 60.

Пример 2из банка тренажёра «Выше Балл»

На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка f' левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка умножить на 6$ в точке x₀.

Показать ответ и разбор

Ответ: 13

Решение. Найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

$f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =k= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Тогда искомое значение

$g левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = левая круглая скобка f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка умножить на 6= левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус 0,5 правая круглая скобка умножить на 6=13.$

Ответ: 13.

Пример 3из банка тренажёра «Выше Балл»

На рисунке изображён график функции $у = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ — производной функции f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

Показать ответ и разбор

Ответ: 9

Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x = 9.

Ответ: 9.

Ещё 78+ таких задач с разборами — в тренажёре.

⚡

Мгновенная проверкаОтвет проверяется сразу, как на экзамене — без ожидания и ключей в конце учебника.

📖

Разбор к каждому заданиюНе просто «верно/неверно», а объяснение, почему ответ именно такой.

🎯

Работа над ошибкамиСервис запоминает промахи и собирает из них персональную тренировку.

🏆

Очки и достиженияСерии, уровни и задание дня превращают подготовку в ежедневную привычку.

81 задача №8 ждут вас в тренажёре

Формат экзамена, мгновенная проверка, разбор каждой задачи и работа над ошибками. Бесплатный старт — без карты.

Начать бесплатно →

❓

Частые вопросы

Как тренировать задание 8 ЕГЭ по математике онлайн?

На платформе «Выше Балл» есть тренажёр по заданию 8 (профильный уровень) в точном формате экзамена: 81 задача с мгновенной проверкой и разбором каждой. Начать можно бесплатно.

Откуда взяты задачи?

Это открытый банк ФИПИ — те же задачи, что публикует «Решу ЕГЭ». У каждой есть авторский разбор: не просто ответ, а объяснение хода решения.

Чем базовый уровень отличается от профильного?

База проще и целиком состоит из заданий с кратким ответом — 21 номер. У профиля часть 1 (12 номеров) тоже с кратким ответом, а часть 2 требует развёрнутого решения. В тренажёре есть оба уровня части 1.

Что делать, если я постоянно ошибаюсь в этом задании?

Использовать «Работу над ошибками»: сервис запоминает каждый промах и собирает из них персональную тренировку. А разбор после ошибки читайте сразу, пока помните ход своей мысли.

← №7. Вычисления и преобразования №9. Задачи с прикладным содержанием →

Задание 8 ЕГЭ по математике: Производная и первообразная

Что проверяет задание 8

Как решать: короткий план

Примеры задания 8 с ответами и разборами

81 задача №8 ждут вас в тренажёре

Частые вопросы